Kezdőlap


Feladat:	B.4113	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Baranyai Zoltán
Füzet:	2010/január, 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetszámok tulajdonságai, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/október: B.4113

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tetszőleges $a$ , $b$ , $c$ , $d$ számokra

\begin{matrix} (a + b + c + d) (a + b - c - d) (a - b + c - d) (a - b - c + d) = \\ = & ({(a + b)}^{2} - {(c + d)}^{2}) ({(a - b)}^{2} - {(c - d)}^{2}) = \\ = & (a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2} + 2 a b - 2 c d) (a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2} - 2 a b + 2 c d) = \\ = & {(a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2})}^{2} - {(2 a b - 2 c d)}^{2} = \\ = & a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} - 2 a^{2} b^{2} - 2 a^{2} c^{2} - 2 a^{2} d^{2} - 2 b^{2} c^{2} - 2 b^{2} d^{2} - 2 c^{2} d^{2} + 8 a b c d . \end{matrix}

Ezt a 0-val egyenlő számot az

S = 2 (a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4}) + 8 a b c d

számból kivonva kapjuk, hogy

\begin{matrix} S & = a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} + 2 a^{2} b^{2} + 2 a^{2} c^{2} + 2 a^{2} d^{2} + 2 b^{2} c^{2} + 2 b^{2} d^{2} + 2 c^{2} d^{2} = \\ = {(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}^{2}, \end{matrix}

ami valóban egy egész szám négyzete.

II. megoldás. Írjuk az

a + b + c + d = 0

feltételt

a + b = (- 1) (c + d)

alakba. Ennek mindkét oldalát négyzetre emelve, majd rendezve:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + 2 a b = c^{2} + d^{2} + 2 c d, (a^{2} + b^{2}) - (c^{2} + d^{2}) = 2 (c d - a b) . \end{matrix}

Ismételt négyzetre emelés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} a^{4} + b^{4} + 2 a^{2} b^{2} + c^{4} + d^{4} + 2 c^{2} d^{2} - 2 (a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2}) = \\ = 4 c^{2} d^{2} + 4 a^{2} b^{2} - 8 a b c d . \end{matrix}

Innen pedig valóban

\begin{matrix} 2 (a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4}) + 8 a b c d = \\ = & a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} + 2 a^{2} b^{2} + 2 a^{2} c^{2} + 2 a^{2} d^{2} + 2 b^{2} c^{2} + 2 b^{2} d^{2} + 2 c^{2} d^{2}) = \\ = & {(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}^{2} . \end{matrix}