Kezdőlap


Feladat:	B.4072	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Berecz Dénes
Füzet:	2010/január, 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Négyzetszámok tulajdonságai, Konstruktív megoldási módszer, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/március: B.4072

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Minden $k$ természetes számra $n = 10^{k} - 1$ megfelelő lesz. Ekkor ugyanis egyrészt $n$ olyan $k$ -jegyű szám, amelynek minden számjegye 9-es, vagyis $S (n) = 9 k$ . Másrészt

\begin{matrix} n^{2} = 10^{2 k} - 2 \cdot 10^{k} + 1 = 10^{k} (10^{k} - 2) + 1, \end{matrix}

vagyis

S (n^{2}) = S (10^{k} - 2) + 1

. Itt

10^{k} - 2

az a

k

-jegyű szám, amelynek minden számjegye 9-es, kivéve az utolsót, ami 8-as. Ezért

S (10^{k} - 2) = 9 (k - 1) + 8

, tehát

S (n^{2}) = 9 (k - 1) + 8 + 1 = 9 k = S (n)

Megjegyzés. Hasonlóan belátható, hogy minden

2 \cdot 10^{k} - 1

alakú szám is megfelelő.