Kezdőlap


Feladat:	4161. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Iván Dávid , Lovas Lia Izabella , Maknics András , Paripás Viktor , Réti Dávid , Török Lajos
Füzet:	2009/december, 562 - 563. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb változó áram, Egyéb kondenzátor-kapcsolások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/április: 4161. fizika feladat

Az ábrán látható kapcsolásban a kondenzátorok töltetlenek. Egy adott pillanatban a

K_{1}

kapcsolót zárjuk.

a)

Határozzuk meg a kondenzátorok feszültségét a

K_{1}

kapcsoló zárása után!

b)

Egy kis idő elteltével a

K_{2}

kapcsolót is zárjuk. Mekkora lesz a kondenzátorok energiája?

c)

Mennyi hő fejlődött a rendszerben a

K_{2}

kapcsoló zárása után?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Amikor csak a $K_{1}$ kapcsoló van zárva, a két sorbakapcsolt kondenzátor lemezein ugyanakkora, $Q$ nagyságú töltés halmozódik fel, feszültségük tehát

\begin{matrix} U_{1} = \frac{Q}{C_{1}}, illetve U_{2} = \frac{Q}{C_{2}} \end{matrix}

lesz. Másrészt a huroktörvény szerint

\begin{matrix} U_{1} + U_{2} = U, ahonnan Q = \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} U \end{matrix}

és

\begin{matrix} U_{1} = \frac{C_{2}}{C_{1} + C_{2}} U, illetve U_{2} = \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}} U \end{matrix}

adódik.

b)

K_{2}

kapcsoló zárása után a

C_{1}

kapacitású kondenzátor az ellenálláson keresztül kisül; lemezein nem marad töltés, feszültsége nullára csökken. A másik,

C_{2}

kapacitású kondenzátor feszültsége emiatt a telepfeszültséggel egyenlővé válik, energiája pedig

\begin{matrix} W = \frac{1}{2} C_{2} U^{2} \end{matrix}

lesz. Ez az érték egyben a rendszer teljes energiájával is egyenlő, hiszen a másik (most már töltetlen) kondenzátor elektrosztatikus energiája nulla.
A

C_{2}

kapacitású kondenzátor töltése is megváltozik, a korábbi

Q

helyett

\begin{matrix} Q' = C_{2} U \end{matrix}

nagyságú lesz.

c)

A fejlődő hő a kondenzátorok és a telep energiájának megváltozásából számolható.

\begin{matrix} Δ W_{kondenzátor} & = \frac{1}{2} C_{2} U^{2} - (\frac{1}{2} C_{1} U_{1}^{2} + \frac{1}{2} C_{2} U_{2}^{2}) = \\ = \frac{1}{2} C_{2} U^{2} - \frac{1}{2} (\frac{C_{1} C_{2}^{2}}{{(C_{1} + C_{2})}^{2}} + \frac{C_{1}^{2} C_{2}}{{(C_{1} + C_{2})}^{2}}) U^{2} = \\ = \frac{1}{2} C_{2} U^{2} - \frac{1}{2} \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} U^{2} = \frac{1}{2} \frac{C_{2}^{2}}{C_{1} + C_{2}} U^{2} . \end{matrix}

Érdemes megjegyezni, hogy

Δ W_{kondenzátor} > 0

, tehát a

K_{2}

kapcsoló zárása után a kondenzátorok összenergiája növekszik.
A kapcsoló zárását követően a telep energiája is megváltozik

\begin{matrix} Δ W_{telep} = U (Q - Q') \end{matrix}

értékkel, hiszen

Q - Q'

nagyságú töltést ad le

U

feszültség mellett.

Q

és

Q'

korábban kiszámított értékét behelyettesítve a

\begin{matrix} Δ W_{telep} = (\frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} - C_{2}) U^{2} = - \frac{C_{2}^{2}}{C_{1} + C_{2}} U^{2} \end{matrix}

eredmény adódik. Látható, hogy a telep energiája a második kapcsoló zárása után csökken, méghozzá abszolút értékben éppen kétszerannyit, mint amennyivel a kondenzátorok energiája növekedszik.
A két kondenzátor és a telep együtt alkot energetikailag zárt rendszert, melyre fennáll

\begin{matrix} Δ W_{kondenzátor} + Δ W_{telep} + Q = 0, \end{matrix}

ahol

Q

a folyamat során fejlődő hő. Innen kapjuk, hogy

\begin{matrix} Q = - (Δ W_{kondenzátor} + Δ W_{telep}) = \frac{1}{2} \frac{C_{2}^{2}}{C_{1} + C_{2}} U^{2} . \end{matrix}