Feladat: 4161. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Iván Dávid ,  Lovas Lia Izabella ,  Maknics András ,  Paripás Viktor ,  Réti Dávid ,  Török Lajos 
Füzet: 2009/december, 562 - 563. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Egyéb változó áram, Egyéb kondenzátor-kapcsolások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/április: 4161. fizika feladat

Az ábrán látható kapcsolásban a kondenzátorok töltetlenek. Egy adott pillanatban a K1 kapcsolót zárjuk.
 
 

a) Határozzuk meg a kondenzátorok feszültségét a K1 kapcsoló zárása után!
b) Egy kis idő elteltével a K2 kapcsolót is zárjuk. Mekkora lesz a kondenzátorok energiája?
c) Mennyi hő fejlődött a rendszerben a K2 kapcsoló zárása után?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. a) Amikor csak a K1 kapcsoló van zárva, a két sorbakapcsolt kondenzátor lemezein ugyanakkora, Q nagyságú töltés halmozódik fel, feszültségük tehát

U1=QC1,  illetve  U2=QC2
lesz. Másrészt a huroktörvény szerint
U1+U2=U,  ahonnan  Q=C1C2C1+C2U
és
U1=C2C1+C2U,illetveU2=C1C1+C2U
adódik.
b) A K2 kapcsoló zárása után a C1 kapacitású kondenzátor az ellenálláson keresztül kisül; lemezein nem marad töltés, feszültsége nullára csökken. A másik, C2 kapacitású kondenzátor feszültsége emiatt a telepfeszültséggel egyenlővé válik, energiája pedig
W=12C2U2
lesz. Ez az érték egyben a rendszer teljes energiájával is egyenlő, hiszen a másik (most már töltetlen) kondenzátor elektrosztatikus energiája nulla.
A C2 kapacitású kondenzátor töltése is megváltozik, a korábbi Q helyett
Q'=C2U
nagyságú lesz.
c) A fejlődő hő a kondenzátorok és a telep energiájának megváltozásából számolható.
ΔWkondenzátor=12C2U2-(12C1U12+12C2U22)==12C2U2-12(C1C22(C1+C2)2+C12C2(C1+C2)2)U2==12C2U2-12C1C2C1+C2U2=12C22C1+C2U2.
Érdemes megjegyezni, hogy ΔWkondenzátor>0, tehát a K2 kapcsoló zárása után a kondenzátorok összenergiája növekszik.
A kapcsoló zárását követően a telep energiája is megváltozik
ΔWtelep=U(Q-Q')
értékkel, hiszen Q-Q' nagyságú töltést ad le U feszültség mellett. Q és Q' korábban kiszámított értékét behelyettesítve a
ΔWtelep=(C1C2C1+C2-C2)U2=-C22C1+C2U2
eredmény adódik. Látható, hogy a telep energiája a második kapcsoló zárása után csökken, méghozzá abszolút értékben éppen kétszerannyit, mint amennyivel a kondenzátorok energiája növekedszik.
A két kondenzátor és a telep együtt alkot energetikailag zárt rendszert, melyre fennáll
ΔWkondenzátor+ΔWtelep+Q=0,
ahol Q a folyamat során fejlődő hő. Innen kapjuk, hogy
Q=-(ΔWkondenzátor+ΔWtelep)=12C22C1+C2U2.