Feladat: B.4173 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ágoston Tamás ,  Bodor Bertalan ,  Bősze Zsuzsanna ,  Csere Kálmán ,  Damásdi Gábor ,  Éles András ,  Énekes Péter ,  Győrfi Mónika ,  Huszár Kristóf ,  Iglói Gábor ,  Keresztfalvi Tibor ,  Kiss Melinda Flóra ,  Lovas Lia Izabella ,  Mészáros András ,  Nagy Donát ,  Nagy Krisztina ,  Nagy Róbert ,  Perjési Gábor ,  Somogyi Ákos ,  Strenner Péter ,  Szórádi Márk ,  Tuan Nhat Le ,  Weimann Richárd ,  Weisz Gellért ,  Zelena Réka 
Füzet: 2009/december, 533 - 535. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Terület, felszín, Vektorok vektoriális szorzata
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/április: B.4173

Melyek azok az ABCD konvex négyszögek, amelyeknek van olyan P belső pontja, amelyre az ABP, BCP, CDP, DAP háromszögek területe egyenlő?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy létezik egy megfelelő P pont. Ekkor tABP=tADP, ezért az AP egyenes a B és a D ponttól egyenlő távolságra van, vagyis m1=m2. Ebből következik, hogy a BM1F és a DM2F derékszögű háromszögek egybevágók, így BF=DF, tehát az AP egyenes felezi a BD átlót (1. ábra). Hasonló okok miatt, a tCBP=tCDP egyenlőségéből következik, hogy a CP egyenes is felezi a BD átlót.

 

 
1. ábra
 

Feltéve, hogy az AP és CP egyeneseknek egyetlen közös pontja van, az nem lehet más, mint a BD átló felezőpontja. Tehát a P pont azonos a BD átló felezőpontjával.
Mivel tABP=tBCP, illetve tADP=tCDP, azért a BP és a DP egyenes egyenlő távolságra van az A és a C ponttól. Mivel B, P és D egy egyenesre esnek, a BD egyenes egyenlő távol van A-tól és C-től, azaz felezi az AC szakaszt.
Ha az A, P és C pontok esnek egy egyenesbe, akkor az AC egyenesre igaz, hogy felezi a BD átlót.
Tehát ha a P pont létezik, akkor a négyszög egyik átlója felezi a másikat.
Fordítva is igaz: ha a négyszög egyik átlója felezi a másikat, akkor a nem felezett átló felezőpontja megfelel a feltételnek, hiszen a részháromszögek AP és PC oldalai és a hozzájuk tartozó magasságok is egyenlők (2. ábra).
 

 
2. ábra
 

II. megoldás. A háromszög-terület egyenlőségeit felhasználva tudjuk, hogy
absinα=bcsinβ=cdsinγ=dasinδ
(3. ábra), amiből abcdsinαsinγ=bacdsinβsinδ, vagyis sinαsinγ=sinβsinδ.
 

 
3. ábra
 

Tudjuk, hogy
sinαsinγ=cos(α-γ)-cos(α+γ)2
és
sinβsinδ=cos(β-δ)-cos(β+δ)2.
Tehát
sinαsinγsinβsinδ=cos(α-γ)-cos(α+γ)cos(β-δ)-cos(β+δ)=1.
Mivel α+β+γ+δ=360, azért cos(α+γ)=cos(β+δ). Ebből viszont következik, hogy cos(α-γ)=cos(β-δ), amiből a cosinus függvény párosságát figyelembe véve α-γ=β-δ vagy α-γ=δ-β. Szimmetria-okok miatt elég egyikkel foglalkozni, tehát α-γ=β-δ, vagyis α+δ=β+γ=180. Ez azt jelenti, hogy a P pont a BD átlón helyezkedik el.
Az α+δ=180 szerint α=180-δ, így sinα=sinδ. Ezt az absinα=dasinδ egyenletbe visszahelyettesítve b=d adódik. Így a P pont a BD átló felezőpontja lesz. Ekkor absinα=cdsinγ-ból asinα=csinγ, vagyis az A és C pontok egyenlő távolságra vannak a BD átlótól.
 

 
4. ábra
 

Tehát a feladat feltételét azok a négyszögek elégítik ki, melyeknek van olyan átlójuk, amelytől a másik két csúcs egyenlő távolságra van, és a P pont ennek az átlónak a felezőpontjában lesz.