Feladat: 4090. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Laczkó Zoltán Balázs 
Füzet: 2009/november, 503 - 504. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Egyéb merev test síkmozgások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/szeptember: 4090. fizika feladat

Egy 20 cm hosszú, keskeny, 0,05 kg tömegű egyenes vonalzó fekszik a vízszintes, légpárnás asztalon. Egy adott pillanatban a vonalzó nyugalomban van, majd az egyik végén 0,1 N erő hat vízszintesen, a vonalzó hosszára merőlegesen. Mekkora gyorsulással indul el a vonalzó másik vége?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Légpárnás asztalon a súrlódás elhanyagolható, ezért a vonalzó (sík)mozgását az egyetlen (vízszintes irányú) külső erőhatás, a feladatban megadott 0,1 N-os erő határozza meg. A tömegközépponti tétel szerint (lásd pl. Budó Á.: Kísérleti fizika I., Tankönyvkiadó (1970), 139. old.) egy mechanikai rendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rendszer egész tömege ebben a pontban lenne egyesítve, és a rendszer összes külső erőinek eredője erre a pontra hatna. Jelen esetben a vonalzó tömegközéppontjának (ami most megegyezik a geometriai középponttal) gyorsulása:

atkp.=Fm=0,1N0,05kg=2ms2.

A vonalzó merev testnek tekinthető, amelynek mozgása a tömegközéppont haladó (transzlációs) mozgásából és a tömegközéppont körüli forgómozgásból tevődik össze. A forgómozgás β szöggyorsulását a testre ható M forgatónyomaték és a test Θ tehetetlenségi nyomatéka határozza meg. A forgómozgás alapegyenlete: β=MΘ. Mivel egy hosszúságú, keskeny, homogén anyageloszlású pálca (a vonalzó is ilyennek tekinthető) tehetetlenségi nyomatéka (táblázati adat):
Θ=112m2,
a végénél a hossztengelyére merőlegesen ható F erő forgatónyomatéka pedig F2, a szöggyorsulása (közvetlenül az indulás után): β=6Fm. Ilyen szöggyorsulás mellett a vonalzó mindkét vége (ezek a tömegközépponttól 2 távol vannak) a tömegközépponthoz viszonyítva
a=2β=3Fm=3atkp.=6ms2
gyorsulással mozognak. A forgómozgásból adódó gyorsulás a vonalzó erőhatásnak kitett végénél a tömegközéppont gyorsulásával egyező irányú, az asztalhoz viszonyított ,,eredő gyorsulás'' tehát
a1=atkp.+a=8ms2.
A vonalzó ,,másik'' végénél a forgómozgásból származó gyorsulás a tömegközéppont gyorsulásával ellentétes irányú, az eredő gyorsulás tehát
a2=atkp.-a=-4ms2.
A negatív előjel azt a furcsa helyzetet fejezi ki, hogy a vonalzó ,,másik'' vége a külső erővel ellentétes irányban indul el.
 
Megjegyzés: Érdekes, hogy a vonalzó végpontjainak gyorsulása nem függ a vonalzó hosszától, erre az adatra tehát a feladat megoldása során nem volt szükségünk.