Kezdőlap


Feladat:	2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2009/november, 498 - 500. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Csillagok jellemzői, Csillagfejlődés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/október: 2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Csillagok központi hőmérsékletének klasszikus becslése
Akkor közelíti meg a két proton egymást $d_{c}$ távolságra, ha mozgási energiájuk összege megegyezik a $d_{c}$ távolsághoz tartozó elektromos potenciális energiával. A mozgási energiák az ekvipartíció-tételből határozhatók meg. Tehát

\begin{matrix} 2 \frac{m_{p} v_{rms}^{2}}{2} = 2 \frac{3}{2} k T_{c} = \frac{q^{2}}{4 π ε_{0} d_{c}}, így T_{c} = \frac{q^{2}}{12 π ε_{0} d_{c} k} = 5,5 \cdot 10^{9} K. \end{matrix}

(17)

2. Annak igazolása, hogy az előző hőmérsékletbecslés hibás
A hidrosztatikai egyensúlyt leíró

\frac{Δ P}{Δ r} = - \frac{G M_{r} ρ_{r}}{r^{2}}

egyenletben elvégezve a javasolt

Δ r = R

Δ P = - P_{c}

M_{r} = M

és

ρ_{r} = ρ_{c}

helyettesítéseket, a központi nyomásra azt kapjuk, hogy

P_{c} = \frac{G M ρ_{c}}{R}

. Ugyanakkor az ideális gáztörvény szerint

\begin{matrix} P_{c} = \frac{N k T_{c}}{V} = \frac{2 ρ_{c} k T_{c}}{m_{p}}, \end{matrix}

ahol felhasználtuk, hogy

N = \frac{2 M}{m_{p}}

, hiszen a protonok adják lényegében a csillag teljes tömegét, de az elektronok is hozzájárulnak a nyomáshoz. A két egyenletből megkapható a keresett központi hőmérséklet:

\begin{matrix} T_{c} = \frac{G M m_{p}}{2 k R} . \end{matrix}

Innen az

M / R

arány a (17) értékkel számolva:

\begin{matrix} \frac{M}{R} = \frac{2 k T_{c}}{G m_{p}} = 1, 4 \cdot 10^{24} \frac{k g}{m}. \end{matrix}

(18)

A Nap esetén ugyanez az arány

\frac{M_{⊙}}{R_{⊙}} = 2, 9 \cdot 10^{21} \frac{kg}{m}

, ami három nagyságrenddel kisebb, mint az előző elmélet jóslata!

3. Csillagok központi hőmérsékletének kvantummechanikai becslése
Megoldásunk hasonló az 1. ponthoz. A következő egyenleteket írhatjuk föl:

\begin{matrix} ekvipartíció-tétel: & \frac{1}{2} m_{p} v_{rms}^{2} & = \frac{3}{2} k T_{c}, & (19a) \\ mechanikai energiamegmaradás: & m_{p} v_{rms}^{2} & = \frac{q^{2}}{4 π ε_{0} d_{c}}, & (19b) \\ de Broglie-hullámhossz: & d_{c} = \frac{λ_{p}}{\sqrt[]{2}} & = \frac{h}{\sqrt[]{2} m_{p} v_{rms}} . & (19c) \end{matrix}

Az egyenletrendszer egyszerű megoldható

T_{c}

-re:

\begin{matrix} T_{c} = \frac{q^{4} m_{p}}{24 π^{2} ε_{0}^{2} k h^{2}} = 9, 7 \cdot 10^{6} K. \end{matrix}

(20)

A (18) összefüggés felhasználásával ehhez a hőmérséklethez tartozó

M / R

arány

2, 4 \cdot 10^{21} \frac{kg}{m}

, ami már közel azonos a Nap esetén megfigyelésekből számolt értékkel.

4. Csillagok tömeg/sugár aránya
Felhasználva az (18) és a (20) formulákat,

\begin{matrix} \frac{M}{R} = \frac{q^{4}}{12 π^{2} ε_{0}^{2} G h^{2}}, \end{matrix}

(21)

ami valóban kizárólag univerzális fizikai állandóktól függ.

5. A legkisebb csillagok tömege és sugara
Az elektronok száma megegyezik a protonok számával, ami

\frac{M}{m_{p}}

, tehát

\begin{matrix} n_{e} = \frac{M}{m_{p} V} = \frac{3 M}{4 π R^{3} m_{p}} . \end{matrix}

(22)

Ez azt jelenti, hogy a szomszédos elektronok közti tipikus távolság

d_{e} = n_{e}^{- \frac{1}{3}}

. (Számolhatunk úgy, mintha az elektronok egy szabályos,

d_{e}

rácsállandójú köbös rácsban helyezkednének el a csillag belsejében.)
A legkisebb sugarat kicsit hosszadalmas, de egyszerű számolással kaphatjuk meg. Induljunk ki a

d_{e} \geq \frac{λ_{e}}{2^{1 / 2}} = \frac{h}{2^{1 / 2} m_{e} v_{e}}

egyenlőtlenségből, ahol

v_{e}

az elektronok termikus sebességét jelöli. Az ekvipartíció-tétel alapján

v_{e} = \sqrt[]{\frac{3 k T_{c}}{m_{e}}}

, a

d_{e}

tipikus távolságot kifejeztük a (22) egyenletben felírt elektronsűrűséggel, az

M

tömeget beírhatjuk a (21) egyenletből, és a

T_{c}

hőmérsékletet megadja a (20) formula. Ezeket a behelyettesítéseket mind elvégezve, rendezés után a következő egyenlőtlenséget kapjuk a csillag sugarára:

\begin{matrix} R \geq \frac{ε_{0}^{1 / 2} h^{2}}{2^{1 / 2} q m_{e}^{3 / 4} m_{p}^{5 / 4} G^{1 / 2}} = 6, 9 \cdot 10^{7} m = 0, 10 R_{⊙} . \end{matrix}

Ezután a minimális tömeget a (21) egyenletből kaphatjuk meg:

\begin{matrix} M \geq 1, 7 \cdot 10^{29} kg = 0, 09 M_{⊙} . \end{matrix}

6. Hélium-fúzió öregebb csillagokban
Jelölje

v_{He}

a hélium atommagok termikus sebességét. Két ütköző mag együttes

m_{He} v_{He}^{2}

mozgási energiája megegyezik a

d_{c} = \frac{λ_{He}}{\sqrt[]{2}} = \frac{h}{\sqrt[]{2} m_{He} v_{He}}

távolsághoz tartozó

\frac{4 q^{2}}{4 π ε_{0} d_{c}}

potenciális energiával, ahonnan a hélium atommagok termikus sebessége

\begin{matrix} v_{He} = \frac{\sqrt[]{2} q^{2}}{π ε_{0} h} = 2, 0 \cdot 10^{6} \frac{m}{s}. \end{matrix}

Ezután a hőmérséklet az ekvipartíció-tételből számolható ki:

\begin{matrix} T_{He} = \frac{m_{He} v_{He}^{2}}{3 k} = 6, 5 \cdot 10^{8} K. \end{matrix}

Ez az érték nagyságrendileg egyezik a pontosabb csillagmodellek eredményével.