Feladat: 2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2009/november, 498 - 500. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Csillagok jellemzői, Csillagfejlődés
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/október: 2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

3. feladat. Miért olyan nagyok a csillagok?
 
A csillagok forró gázgömbök, melyek ragyogását a belsejükben lezajló magfúzió adja. Leggyakoribb esetben e folyamat során hidrogénből hélium keletkezik. Ebben a problémában klasszikus mechanikai, illetve kvantummechanikai fogalmak, valamint elektrosztatikai, termodinamikai összefüggések segítségével keressük a választ arra a kérdésre, hogy a gázgömbnek miért csak egy bizonyos mérete fölött indul be a fúziós reakció. Sőt, a hidrogén fúziójához szükséges kritikus tömeg és sugár értékét is meghatározzuk. (A Napról, mint csillagról látható kép a hátsó belső borítón jobbra középen.)
Fontos fizikai állandók:
gravitációs állandó: G=6,710-11m3kg-1s2;
Boltzmann-állandó: k=1,410-23J K-1;
Planck-állandó: h=6,610-34m2kg s-1;
proton tömege: mp=1,710-27 kg;
elektron tömege: me=9,110-31 kg;
elemi töltés: q=1,610-19 C;
vákuum permittivitás: ε0=8,910-12C2N-1m-2;
Nap sugara: RN=7,0108 m;
Nap tömege: MN=2,01030 kg.
 
1. Csillagok központi hőmérsékletének klasszikus becslése
Tegyük föl, hogy a csillagot formáló gáz tiszta ionizált hidrogén, azaz elektronok és protonok azonos arányú keveréke, mely ideális gázként viselkedik. A klasszikus fizika törvényei szerint két proton fúziójához az szükséges, hogy 10-15 méternél közelebb kerüljenek egymáshoz, mivel csak ilyen kis távolság esetén válik a rövidtávú magerő meghatározóvá. Azonban ahhoz, hogy ilyen közel kerüljenek egymáshoz, le kell győzniük a Coulomb-taszítást. Tegyük fel, hogy két klasszikus, pontszerű részecskének tekintett proton vrms nagyságú, egymással ellentétes irányú sebességgel halad egymás felé egy egyenes mentén, és frontálisan ütközik. Itt vrms a termodinamikai átlagsebesség (sebességnégyzet átlagának a gyöke; az index az angol root-mean-square kifejezésre utal).
1.a. Határozd meg azt a kritikus Tc hőmérsékletet, amely esetén két ütköző proton közti minimális dc távolság éppen 10-15 m! A keresett értéket, és ebben a feladatban minden további számszerű eredményt két értékes jegyre adj meg!
 
2. Annak igazolása, hogy az előző hőmérséklet-becslés hibás
Ahhoz, hogy ellenőrizzük előző becslésünk megbízhatóságát, még egy független módszerre van szükségünk a csillagok központi hőmérsékletének meghatározására. Egy valódi csillag felépítése meglehetősen bonyolult, de néhány egyszerűsítő feltevés használatával a lényeget könnyen megérthetjük. A csillagok egyensúlyban vannak, ami azt jelenti, hogy se nem tágulnak, se nem húzódnak össze, mert a befelé mutató gravitációs erő egyensúlyt tart a kifelé mutató nyomással (6. ábra). Egy, a középponttól r távolságban levő gázréteg hidrosztatikai egyensúlyát a
ΔPΔr=-GMrϱrr2
egyenlet fejezi ki, ahol P a gáz nyomása, G a gravitációs állandó, Mr a csillag r sugarú gömbön belül eső részének tömege, ϱr pedig a gázréteg sűrűsége.
 
 

6. ábra. A csillagok hidrosztatikai egyensúlyban vannak, a nyomás-változással a gravitáció tart egyensúlyt
 

A csillag központi hőmérsékletére nagyságrendi becslést kaphatunk, ha a paramétereknek a középpontban és a csillag felszínén felvett értékét használjuk, tehát a következő közelítésekkel élünk:
ΔPP0-Pc,
ahol Pc a központi, P0 pedig a felületi nyomás. Mivel PcP0, feltehetjük, hogy
ΔP-Pc.
Ugyanezzel a közelítéssel élve, a ,,rétegvastagságra'' az adódik, hogy
ΔrR,
ahol R a csillag (teljes) sugara, valamint
MrMR=M,
ahol M a csillag teljes tömege.
A sűrűség közelíthető a középpontban felvett értékével,
ϱrϱc.
Feltehetjük továbbá, hogy a nyomás az ideális gáztörvényből számolható.
2.a. Határozd meg a csillag középpontjában a Tc hőmérsékletet kizárólag a csillag sugarának, tömegének, valamint fizikai állandóknak a segítségével!
A fenti modell teszteléséhez vizsgáljuk meg a kapott eredmény egy egyszerű következményét:
2.b. A 2.a. pontban kapott egyenlőség alapján add meg a vizsgált csillagokra az M/R arány becsült értékét kizárólag fizikai állandók és Tc függvényében!
2.c. A Tc hőmérsékletnek az 1.a. pontban meghatározott értéke alapján határozd meg számszerűen a csillagok M/R arányának jósolt értékét!
2.d. Most számold ki a Nap esetén az MNap/RNap arányt, és ellenőrizd, hogy ez az érték sokkal kisebb, mint a 2.c. pontban meghatározott érték!
 
3. Csillagok központi hőmérsékletének kvantummechanikai becslése
A 2.d. pontban talált nagy eltérés azt sejteti, hogy Tc-nek az 1.a. pontban adott becslése nem helyes. Az ellentmondás kvantummechanikai effektusok figyelembevételével oldható fel. Eszerint a protonok hullámként viselkednek, és egyetlen proton a λp de Broglie-hullámhosszával azonos nagyságrendű területen ,,van szétkenve''. Ez azt jelenti, hogy ha a protonok között elért dc minimális távolság a λp hullámhossz közelébe esik, akkor a két részecske kvantummechanikai értelemben ,,átfedésbe kerül'', és így képesek a fúzióra.
3.a. Feltéve, hogy a vrms sebességgel haladó protonok esetén a fúzió feltétele dc=λp21/2, határozd meg Tc értékét csupán fizikai állandók segítségével!
3.b. Határozd meg a Tc hőmérsékletre a 3.a. pontban kapott kifejezés numerikus értékét!
3.c. A 3.b. pontban kapott érték valamint a 2.b. pontban levezetett kifejezés segítségével határozd meg az M/R arány becsült numerikus értékét csillagokra! Ellenőrizd, hogy ez az érték közel esik-e a megfigyelésekből származó MNap/RNap arányhoz!
Valóban, az úgynevezett fősorozatba eső csillagok (melyekben hidrogén fúziója zajlik, ,,normális'' csillagok) nagyon tág tömeghatárok között megfelelnek a fenti becslésnek.
 
4. Csillagok tömeg/sugár aránya
Az előző feladatban tapasztalt egyezés azt sejteti, hogy a Nap középponti hőmérsékletének becslésére a kvantummechanikai gondolatmenet helyes.
4.a. Az előző eredményt felhasználva mutasd meg, hogy minden olyan csillag esetén, melyben hidrogén-fúzió zajlik, az M tömeg és R sugár aránya állandó, mely kizárólag univerzális fizikai konstansoktól függ! Határozd is meg ezt az M/R arányt ezekre a csillagokra!
 
5. A legkisebb csillagok tömege és sugara
A 4.a. pontban kapott eredményből arra következtethetnénk, hogy bármely tömeggel létezhetnek hidrogén-fúziós ciklusban levő csillagok, feltéve, hogy az összefüggés feltétele teljesül. Ez a következtetés azonban helytelen.
A hidrogén-fúziós ciklusban levő csillagokban található gáz ideális gázként viselkedik. Ez azt jelenti, hogy az elektronok közti de tipikus távolság átlagos értéke nagyobb, mint az elektronok λe de Broglie-hullámhossza. Ellenkező esetben ugyanis az elektronok egy úgynevezett degenerált állapotban lennének, és a csillag másképp viselkedne. Felhívjuk a figyelmet arra a tényre, hogy a vizsgált csillag-típusban levő protonokat és elektronokat másként kezeljük. Protonok esetén a de Broglie-hullámok átfedése szükséges ahhoz, hogy a fúzió létrejöhessen, míg elektronok esetén a de Broglie hullámok nem fedhetnek át, mert különben az elektronokat nem kezelhetnénk ideális gázként.
A valóságban a csillagok belsejében levő gáz sűrűsége a középpont felé haladva nő. Ennek ellenére ebben a nagyságrendi becslésben tegyük föl, hogy a vizsgált csillag sűrűsége állandó. Ezen kívül felhasználhatjuk, hogy mpme.
5.a. Határozd meg az ne átlagos elektronszám-sűrűséget a csillag belsejében!
5.b. Határozd meg az elektronok közti de tipikus távolságot a csillag belsejében!
5.c. A deλe21/2 feltétel használatával határozd meg egyenlettel a legkisebb olyan csillag sugarát, mely hidrogén-fúziós ciklusban lehet! (Ezek az ún. normál csillagok.) Tekintsd úgy, hogy a csillag középpontjában mért hőmérséklet a csillagban bárhol mérhető hőmérséklet tipikus értéke.
5.d. Határozd meg a lehető legkisebb normál csillag sugarának számértékét méterben is és a Nap sugarának (rádiuszának) egységében is!
5.e. Határozd meg a lehető legkisebb normál csillag tömegének számértékét kilogrammban is, és Naptömeg-egységben is!
 
6. Hélium-fúzió öregebb csillagokban
Ahogy a csillagok öregednek, majdnem az összes magjukban lévő hidrogént héliummá (He) alakították, így a további fénykibocsátás érdekében arra kényszerülnek, hogy elkezdjék a hélium fuzionálását nehezebb elemekké. A hélium mag két protonból és két neutronból áll, így a töltése kétszerese, a tömege kb. négyszerese a protonénak. Láttuk korábban, hogy a proton fúziójának feltétele dc=λp21/2.
6.a. Add meg a megfelelő feltételt a hélium magokra vonatkozóan, és határozd meg a hélium magok vrms(He) négyzetes átlagsebességét, valamint a hélium fúzióhoz szükséges T(He) hőmérsékletet!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Csillagok központi hőmérsékletének klasszikus becslése
Akkor közelíti meg a két proton egymást dc távolságra, ha mozgási energiájuk összege megegyezik a dc távolsághoz tartozó elektromos potenciális energiával. A mozgási energiák az ekvipartíció-tételből határozhatók meg. Tehát

2mpvrms22=232kTc=q24πε0dc,ígyTc=q212πε0dck=5,5109K.  (17)

 
2. Annak igazolása, hogy az előző hőmérsékletbecslés hibás
A hidrosztatikai egyensúlyt leíró ΔPΔr=-GMrρrr2 egyenletben elvégezve a javasolt Δr=R, ΔP=-Pc, Mr=M és ρr=ρc helyettesítéseket, a központi nyomásra azt kapjuk, hogy Pc=GMρcR. Ugyanakkor az ideális gáztörvény szerint
Pc=NkTcV=2ρckTcmp,
ahol felhasználtuk, hogy N=2Mmp, hiszen a protonok adják lényegében a csillag teljes tömegét, de az elektronok is hozzájárulnak a nyomáshoz. A két egyenletből megkapható a keresett központi hőmérséklet:
Tc=GMmp2kR.
Innen az M/R arány a (17) értékkel számolva:
MR=2kTcGmp=1,41024kgm .  (18)
A Nap esetén ugyanez az arány MR=2,91021kgm, ami három nagyságrenddel kisebb, mint az előző elmélet jóslata!
 
3. Csillagok központi hőmérsékletének kvantummechanikai becslése
Megoldásunk hasonló az 1. ponthoz. A következő egyenleteket írhatjuk föl:
ekvipartíció-tétel:12mpvrms2=32kTc,(19a)mechanikai energiamegmaradás:mpvrms2=q24πε0dc,(19b)de Broglie-hullámhossz:dc=λp2=h2mpvrms.(19c)
Az egyenletrendszer egyszerű megoldható Tc-re:
Tc=q4mp24π2ε02kh2=9,7106K.  (20)
A (18) összefüggés felhasználásával ehhez a hőmérséklethez tartozó M/R arány 2,41021kgm, ami már közel azonos a Nap esetén megfigyelésekből számolt értékkel.
 
4. Csillagok tömeg/sugár aránya
Felhasználva az (18) és a (20) formulákat,
MR=q412π2ε02Gh2,(21)
ami valóban kizárólag univerzális fizikai állandóktól függ.
 
5. A legkisebb csillagok tömege és sugara
Az elektronok száma megegyezik a protonok számával, ami Mmp, tehát
ne=MmpV=3M4πR3mp.(22)
Ez azt jelenti, hogy a szomszédos elektronok közti tipikus távolság de=ne-13. (Számolhatunk úgy, mintha az elektronok egy szabályos, de rácsállandójú köbös rácsban helyezkednének el a csillag belsejében.)
A legkisebb sugarat kicsit hosszadalmas, de egyszerű számolással kaphatjuk meg. Induljunk ki a deλe21/2=h21/2meve egyenlőtlenségből, ahol ve az elektronok termikus sebességét jelöli. Az ekvipartíció-tétel alapján ve=3kTcme, a de tipikus távolságot kifejeztük a (22) egyenletben felírt elektronsűrűséggel, az M tömeget beírhatjuk a (21) egyenletből, és a Tc hőmérsékletet megadja a (20) formula. Ezeket a behelyettesítéseket mind elvégezve, rendezés után a következő egyenlőtlenséget kapjuk a csillag sugarára:
Rε01/2h221/2qme3/4mp5/4G1/2=6,9107m=0,10R.
Ezután a minimális tömeget a (21) egyenletből kaphatjuk meg:
M1,71029kg=0,09M.

 
6. Hélium-fúzió öregebb csillagokban
Jelölje vHe a hélium atommagok termikus sebességét. Két ütköző mag együttes mHevHe2 mozgási energiája megegyezik a dc=λHe2=h2mHevHe távolsághoz tartozó 4q24πε0dc potenciális energiával, ahonnan a hélium atommagok termikus sebessége
vHe=2q2πε0h=2,0106ms.  
Ezután a hőmérséklet az ekvipartíció-tételből számolható ki:
THe=mHevHe23k=6,5108K.  
Ez az érték nagyságrendileg egyezik a pontosabb csillagmodellek eredményével.