3. feladat. Miért olyan nagyok a csillagok?
A csillagok forró gázgömbök, melyek ragyogását a belsejükben lezajló magfúzió adja. Leggyakoribb esetben e folyamat során hidrogénből hélium keletkezik. Ebben a problémában klasszikus mechanikai, illetve kvantummechanikai fogalmak, valamint elektrosztatikai, termodinamikai összefüggések segítségével keressük a választ arra a kérdésre, hogy a gázgömbnek miért csak egy bizonyos mérete fölött indul be a fúziós reakció. Sőt, a hidrogén fúziójához szükséges kritikus tömeg és sugár értékét is meghatározzuk. (A Napról, mint csillagról látható kép a hátsó belső borítón jobbra középen.) Fontos fizikai állandók: gravitációs állandó: ; Boltzmann-állandó: ; Planck-állandó: ; proton tömege: kg; elektron tömege: kg; elemi töltés: C; vákuum permittivitás: ; Nap sugara: m; Nap tömege: kg.
1. Csillagok központi hőmérsékletének klasszikus becslése Tegyük föl, hogy a csillagot formáló gáz tiszta ionizált hidrogén, azaz elektronok és protonok azonos arányú keveréke, mely ideális gázként viselkedik. A klasszikus fizika törvényei szerint két proton fúziójához az szükséges, hogy méternél közelebb kerüljenek egymáshoz, mivel csak ilyen kis távolság esetén válik a rövidtávú magerő meghatározóvá. Azonban ahhoz, hogy ilyen közel kerüljenek egymáshoz, le kell győzniük a Coulomb-taszítást. Tegyük fel, hogy két klasszikus, pontszerű részecskének tekintett proton nagyságú, egymással ellentétes irányú sebességgel halad egymás felé egy egyenes mentén, és frontálisan ütközik. Itt a termodinamikai átlagsebesség (sebességnégyzet átlagának a gyöke; az index az angol root-mean-square kifejezésre utal). 1.a. Határozd meg azt a kritikus hőmérsékletet, amely esetén két ütköző proton közti minimális távolság éppen m! A keresett értéket, és ebben a feladatban minden további számszerű eredményt két értékes jegyre adj meg!
2. Annak igazolása, hogy az előző hőmérséklet-becslés hibás Ahhoz, hogy ellenőrizzük előző becslésünk megbízhatóságát, még egy független módszerre van szükségünk a csillagok központi hőmérsékletének meghatározására. Egy valódi csillag felépítése meglehetősen bonyolult, de néhány egyszerűsítő feltevés használatával a lényeget könnyen megérthetjük. A csillagok egyensúlyban vannak, ami azt jelenti, hogy se nem tágulnak, se nem húzódnak össze, mert a befelé mutató gravitációs erő egyensúlyt tart a kifelé mutató nyomással (6. ábra). Egy, a középponttól távolságban levő gázréteg hidrosztatikai egyensúlyát a egyenlet fejezi ki, ahol a gáz nyomása, a gravitációs állandó, a csillag sugarú gömbön belül eső részének tömege, pedig a gázréteg sűrűsége.
6. ábra. A csillagok hidrosztatikai egyensúlyban vannak, a nyomás-változással a gravitáció tart egyensúlyt A csillag központi hőmérsékletére nagyságrendi becslést kaphatunk, ha a paramétereknek a középpontban és a csillag felszínén felvett értékét használjuk, tehát a következő közelítésekkel élünk: ahol a központi, pedig a felületi nyomás. Mivel , feltehetjük, hogy Ugyanezzel a közelítéssel élve, a ,,rétegvastagságra'' az adódik, hogy ahol a csillag (teljes) sugara, valamint ahol a csillag teljes tömege. A sűrűség közelíthető a középpontban felvett értékével, Feltehetjük továbbá, hogy a nyomás az ideális gáztörvényből számolható. 2.a. Határozd meg a csillag középpontjában a hőmérsékletet kizárólag a csillag sugarának, tömegének, valamint fizikai állandóknak a segítségével! A fenti modell teszteléséhez vizsgáljuk meg a kapott eredmény egy egyszerű következményét: 2.b. A 2.a. pontban kapott egyenlőség alapján add meg a vizsgált csillagokra az arány becsült értékét kizárólag fizikai állandók és függvényében! 2.c. A hőmérsékletnek az 1.a. pontban meghatározott értéke alapján határozd meg számszerűen a csillagok arányának jósolt értékét! 2.d. Most számold ki a Nap esetén az arányt, és ellenőrizd, hogy ez az érték sokkal kisebb, mint a 2.c. pontban meghatározott érték!
3. Csillagok központi hőmérsékletének kvantummechanikai becslése A 2.d. pontban talált nagy eltérés azt sejteti, hogy -nek az 1.a. pontban adott becslése nem helyes. Az ellentmondás kvantummechanikai effektusok figyelembevételével oldható fel. Eszerint a protonok hullámként viselkednek, és egyetlen proton a de Broglie-hullámhosszával azonos nagyságrendű területen ,,van szétkenve''. Ez azt jelenti, hogy ha a protonok között elért minimális távolság a hullámhossz közelébe esik, akkor a két részecske kvantummechanikai értelemben ,,átfedésbe kerül'', és így képesek a fúzióra. 3.a. Feltéve, hogy a sebességgel haladó protonok esetén a fúzió feltétele , határozd meg értékét csupán fizikai állandók segítségével! 3.b. Határozd meg a hőmérsékletre a 3.a. pontban kapott kifejezés numerikus értékét! 3.c. A 3.b. pontban kapott érték valamint a 2.b. pontban levezetett kifejezés segítségével határozd meg az arány becsült numerikus értékét csillagokra! Ellenőrizd, hogy ez az érték közel esik-e a megfigyelésekből származó arányhoz! Valóban, az úgynevezett fősorozatba eső csillagok (melyekben hidrogén fúziója zajlik, ,,normális'' csillagok) nagyon tág tömeghatárok között megfelelnek a fenti becslésnek.
4. Csillagok tömeg/sugár aránya Az előző feladatban tapasztalt egyezés azt sejteti, hogy a Nap középponti hőmérsékletének becslésére a kvantummechanikai gondolatmenet helyes. 4.a. Az előző eredményt felhasználva mutasd meg, hogy minden olyan csillag esetén, melyben hidrogén-fúzió zajlik, az tömeg és sugár aránya állandó, mely kizárólag univerzális fizikai konstansoktól függ! Határozd is meg ezt az arányt ezekre a csillagokra!
5. A legkisebb csillagok tömege és sugara A 4.a. pontban kapott eredményből arra következtethetnénk, hogy bármely tömeggel létezhetnek hidrogén-fúziós ciklusban levő csillagok, feltéve, hogy az összefüggés feltétele teljesül. Ez a következtetés azonban helytelen. A hidrogén-fúziós ciklusban levő csillagokban található gáz ideális gázként viselkedik. Ez azt jelenti, hogy az elektronok közti tipikus távolság átlagos értéke nagyobb, mint az elektronok de Broglie-hullámhossza. Ellenkező esetben ugyanis az elektronok egy úgynevezett degenerált állapotban lennének, és a csillag másképp viselkedne. Felhívjuk a figyelmet arra a tényre, hogy a vizsgált csillag-típusban levő protonokat és elektronokat másként kezeljük. Protonok esetén a de Broglie-hullámok átfedése szükséges ahhoz, hogy a fúzió létrejöhessen, míg elektronok esetén a de Broglie hullámok nem fedhetnek át, mert különben az elektronokat nem kezelhetnénk ideális gázként. A valóságban a csillagok belsejében levő gáz sűrűsége a középpont felé haladva nő. Ennek ellenére ebben a nagyságrendi becslésben tegyük föl, hogy a vizsgált csillag sűrűsége állandó. Ezen kívül felhasználhatjuk, hogy . 5.a. Határozd meg az átlagos elektronszám-sűrűséget a csillag belsejében! 5.b. Határozd meg az elektronok közti tipikus távolságot a csillag belsejében! 5.c. A feltétel használatával határozd meg egyenlettel a legkisebb olyan csillag sugarát, mely hidrogén-fúziós ciklusban lehet! (Ezek az ún. normál csillagok.) Tekintsd úgy, hogy a csillag középpontjában mért hőmérséklet a csillagban bárhol mérhető hőmérséklet tipikus értéke. 5.d. Határozd meg a lehető legkisebb normál csillag sugarának számértékét méterben is és a Nap sugarának (rádiuszának) egységében is! 5.e. Határozd meg a lehető legkisebb normál csillag tömegének számértékét kilogrammban is, és Naptömeg-egységben is!
6. Hélium-fúzió öregebb csillagokban Ahogy a csillagok öregednek, majdnem az összes magjukban lévő hidrogént héliummá (He) alakították, így a további fénykibocsátás érdekében arra kényszerülnek, hogy elkezdjék a hélium fuzionálását nehezebb elemekké. A hélium mag két protonból és két neutronból áll, így a töltése kétszerese, a tömege kb. négyszerese a protonénak. Láttuk korábban, hogy a proton fúziójának feltétele . 6.a. Add meg a megfelelő feltételt a hélium magokra vonatkozóan, és határozd meg a hélium magok (He) négyzetes átlagsebességét, valamint a hélium fúzióhoz szükséges (He) hőmérsékletet!
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Csillagok központi hőmérsékletének klasszikus becslése Akkor közelíti meg a két proton egymást távolságra, ha mozgási energiájuk összege megegyezik a távolsághoz tartozó elektromos potenciális energiával. A mozgási energiák az ekvipartíció-tételből határozhatók meg. Tehát | | (17) |
2. Annak igazolása, hogy az előző hőmérsékletbecslés hibás A hidrosztatikai egyensúlyt leíró egyenletben elvégezve a javasolt , , és helyettesítéseket, a központi nyomásra azt kapjuk, hogy . Ugyanakkor az ideális gáztörvény szerint ahol felhasználtuk, hogy , hiszen a protonok adják lényegében a csillag teljes tömegét, de az elektronok is hozzájárulnak a nyomáshoz. A két egyenletből megkapható a keresett központi hőmérséklet: Innen az arány a (17) értékkel számolva: | | (18) | A Nap esetén ugyanez az arány M⊙R⊙=2,9⋅1021kgm, ami három nagyságrenddel kisebb, mint az előző elmélet jóslata!
3. Csillagok központi hőmérsékletének kvantummechanikai becslése Megoldásunk hasonló az 1. ponthoz. A következő egyenleteket írhatjuk föl:
ekvipartíció-tétel:12mpvrms2=32kTc,(19a)mechanikai energiamegmaradás:mpvrms2=q24πε0dc,(19b)de Broglie-hullámhossz:dc=λp2=h2mpvrms.(19c)
Az egyenletrendszer egyszerű megoldható Tc-re: | Tc=q4mp24π2ε02kh2=9,7⋅106K. | (20) | A (18) összefüggés felhasználásával ehhez a hőmérséklethez tartozó M/R arány 2,4⋅1021kgm, ami már közel azonos a Nap esetén megfigyelésekből számolt értékkel.
4. Csillagok tömeg/sugár aránya Felhasználva az (18) és a (20) formulákat, ami valóban kizárólag univerzális fizikai állandóktól függ.
5. A legkisebb csillagok tömege és sugara Az elektronok száma megegyezik a protonok számával, ami Mmp, tehát Ez azt jelenti, hogy a szomszédos elektronok közti tipikus távolság de=ne-13. (Számolhatunk úgy, mintha az elektronok egy szabályos, de rácsállandójú köbös rácsban helyezkednének el a csillag belsejében.) A legkisebb sugarat kicsit hosszadalmas, de egyszerű számolással kaphatjuk meg. Induljunk ki a de≥λe21/2=h21/2meve egyenlőtlenségből, ahol ve az elektronok termikus sebességét jelöli. Az ekvipartíció-tétel alapján ve=3kTcme, a de tipikus távolságot kifejeztük a (22) egyenletben felírt elektronsűrűséggel, az M tömeget beírhatjuk a (21) egyenletből, és a Tc hőmérsékletet megadja a (20) formula. Ezeket a behelyettesítéseket mind elvégezve, rendezés után a következő egyenlőtlenséget kapjuk a csillag sugarára: | R≥ε01/2h221/2qme3/4mp5/4G1/2=6,9⋅107m=0,10R⊙. | Ezután a minimális tömeget a (21) egyenletből kaphatjuk meg:
6. Hélium-fúzió öregebb csillagokban Jelölje vHe a hélium atommagok termikus sebességét. Két ütköző mag együttes mHevHe2 mozgási energiája megegyezik a dc=λHe2=h2mHevHe távolsághoz tartozó 4q24πε0dc potenciális energiával, ahonnan a hélium atommagok termikus sebessége Ezután a hőmérséklet az ekvipartíció-tételből számolható ki: Ez az érték nagyságrendileg egyezik a pontosabb csillagmodellek eredményével.
|
|