Kezdőlap


Feladat:	2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2009/november, 491 - 494. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Pontrendszerek mozgásegyenletei, A Hold mozgásával kapcsolatos jelenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/október: 2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Impulzusmomentum-megmaradás
1a‐1c. A Föld‐Hold rendszer teljes impulzusmomentuma a Föld forgásából és a Hold keringéséből származó két tag összege. A feladat jelöléseit használva kezdetben az impulzusmomentum $L_{1} = I_{F} ω_{F 1} + I_{H 1} ω_{H 1}$ , a folyamat végén pedig, amikor a Föld forgásának és a Hold keringésének szögsebessége megegyezik, $L_{2} = I_{F} ω_{2} + I_{H 2} ω_{2}$ . Az impulzusmomentum-megmaradás tétel értelmében $L_{1} = L_{2}$ , és $L_{2}$ -ben a Föld impulzusmomentumát elhanyagolva azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} L_{1} = I_{F} ω_{F 1} + I_{H 1} ω_{H 1} = I_{H 2} ω_{2} . \end{matrix}

(1)

(Emlékeztetőül, az impulzusmomentumot

L

, a tehetetlenségi nyomatékot

I

, a szögsebességet

ω

jelöli. Az 1 index a kezdeti állapotra, 2 a végső állapotra, F a Földre, H pedig a Holdra utal.)

2. Végső pályasugár és szögsebesség a Föld‐Hold rendszerben
2a‐2c. Feltételezve, hogy a Hold a végső helyzetben is körpályán kering a Föld körül, mozgásegyenletére (rendezés után) az adódik, hogy

ω_{2}^{2} D_{2}^{3} = G M_{F}

, ahol

D_{2}

a végső pályasugár,

G

a gravitációs állandó,

M_{F}

pedig a Föld tömege. Felhasználva az

L_{1}

-re kapott (1) összefüggést, valamint hogy

I_{H 2} = M_{H} D_{2}^{2}

, a végső pályasugarat és szögsebességet könnyen kifejezhetjük a kért mennyiségekkel:

\begin{matrix} D_{2} = \frac{L_{1}^{2}}{G M_{F} M_{H}^{2}}, ω_{2} = \frac{G^{2} M_{F}^{2} M_{H}^{3}}{L_{1}^{3}} . \end{matrix}

(2)

2d‐2e. Közismert, hogy az

R

sugarú,

M

tömegű homogén gömb tehetetlenségi nyomatéka

\frac{2}{5} M R^{2}

. Ennek felhasználásával, a feladatban leírt modell alapján a Föld tehetetlenségi nyomatéka

\begin{matrix} I_{F} = \frac{2}{5} \frac{4 π}{3} (r_{1}^{5} ϱ_{1} + (r_{0}^{5} - r_{1}^{5}) ϱ_{0}) = 8, 0 \cdot 10^{37} {kg m}^{2} . \end{matrix}

(Az első tag az

r_{1}

sugarú,

ϱ_{1}

sűrűségű belső mag járuléka, míg a második tag az

r_{0}

külső sugarú,

ϱ_{0}

sűrűségű külső köpeny járuléka.)
2f‐2h. A feladatban megadott adatokat a már felírt (1)‐(2) formulákba behelyettesítve a keresett számértékek könnyen meghatározhatók:

\begin{matrix} L_{1} & = 3, 4 \cdot 10^{34} \frac{{kg  m}^{2}}{s}, \\ D_{2} & = 5, 4 \cdot 10^{8} m, & tehát D_{2} = 1, 4 D_{1}, \\ ω_{2} & = 1, 6 \cdot 10^{- 6} \frac{1}{s}, & így a periódusidő46nap. \end{matrix}

2i. A végső helyzetben a Föld impulzusmomentuma

I_{F} ω_{2} = 1, 3 \cdot 10^{32} \frac{{kg  m}^{2}}{s}

, míg a Holdé

I_{H 2} ω_{2} = 3, 4 \cdot 10^{34} \frac{{kg  m}^{2}}{s}

, ami közel 260-szorosa a Földének, tehát a számolás elején tett elhanyagolás valóban jogos volt.

3. Mennyivel távolodik a Hold évenként?
A Földön levő vízréteg szabad felszíne állandó gravitációs potenciálú felületen helyezkedik el. Ha csak a Föld gravitációs terét vennénk figyelembe, akkor az ekvipotenciális felületek koncentrikus gömbök lennének. A Hold gravitációs terének hatására e gömbök deformálódnak; a Föld Hold felé eső, és azzal átellenesen elhelyezkedő pontjukban ,,kitüremkedések'' jönnek létre. (Ezeknek a kitüremkedéseknek a forgó Földhöz képesti mozgását érzékeljük árapályként.) A Föld forgása miatt a kitüremkedések kicsiny

ϑ > 0

szöggel kifordulnak a Föld‐Hold egyenesből. A feladat szerinti modellben a kitüremkedéseket két

m

tömegű tömegponttal helyettesítjük, melyek a Föld felszínének átellenes pontjaiban helyezkednek el, ahogy az 1. ábrán látható.

1. ábra

Mivel

ϑ > 0

, a két égitest forgatónyomatékot fejt ki egymásra, mely a Föld forgását lassítja, a Hold pályamenti impulzusmomentumát pedig növeli.
3a‐3f. Az egyszerű modell alapján könnyen kiszámolhatjuk két tömegpont Holdra ható forgatónyomatékát.
A koszinusztétel alapján a tömegpontok távolsága a Holdtól

\begin{matrix} d_{\pm} = D_{1}^{2} + r_{0}^{2} \pm 2 D_{1} r_{0} cos ϑ, \end{matrix}

tehát a tömegpontok és a Hold közti gravitációs erő

\begin{matrix} F_{\pm} = \frac{G m M_{H}}{d_{\pm}} . \end{matrix}

O D H

háromszög területét kétféleképpen fölírva

\frac{1}{2} r_{0} D_{1} sin ϑ = \frac{1}{2} k_{+} d_{+}

, ahonnan az

F_{+}

erőhöz tartozó erőkar

\begin{matrix} k_{+} = \frac{r_{0} D_{1} sin ϑ}{d_{+}} . \end{matrix}

Hasonló formula kapható a másik erőkarra is, így a két tömegpont által kifejtett forgatónyomaték:

\begin{matrix} τ_{\pm} = F_{\pm} k_{\pm} = \frac{G m M_{H} r_{0} D_{1} sin ϑ}{{(D_{1}^{2} + r_{0}^{2} \pm 2 D_{1} r_{0} cos ϑ)}^{\frac{3}{2}}} . \end{matrix}

Egyszerűsítsünk

D_{1}^{3}

-el és alkalmazzuk az

{(1 + ε)}^{a} \approx 1 + ε a

közelítő formulát, mely

ε ≪ 1

esetén érvényes, figyelembe véve, hogy esetünkben

\frac{r_{0}}{D_{1}} ≪ 1

\begin{matrix} τ_{\pm} & = \frac{G m M_{H} r_{0} sin ϑ}{D_{1}^{2}} {(1 + \frac{r_{0}^{2}}{D_{1}^{2}} \pm 2 \frac{r_{0}}{D_{1}} cos ϑ)}^{- \frac{3}{2}} \approx \\ \approx \frac{G m M_{H} r_{0} sin ϑ}{D_{1}^{2}} (1 - \frac{3}{2} \frac{r_{0}^{2}}{D_{1}^{2}} \mp 3 \frac{r_{0}}{D_{1}} cos ϑ) . \end{matrix}

A fenti közelítéssel élve a Holdra ható, keringését gyorsító eredő forgatónyomaték:

\begin{matrix} τ = τ_{-} - τ_{+} \approx \frac{6 G m M_{H} r_{0}^{2} sin ϑ cos ϑ}{D_{1}^{3}} = 4,1 \cdot 10^{16} Nm. \end{matrix}

(3)

3g‐3h. A Föld körül körpályán keringő Hold mozgásegyenlete

\begin{matrix} \frac{G M_{F} M_{H}}{D^{2}} = M_{H} D ω_{H}^{2}, \end{matrix}

ahonnan a Hold szögsebessége

ω_{H} = \sqrt[]{\frac{G M_{F}}{D^{3}}}

. Ennek felhasználásával a Hold impulzusmomentuma a keringési sugárral kifejezve:

\begin{matrix} L_{H} = I_{H} ω_{H} = M_{H} \sqrt[]{D G M_{F}} . \end{matrix}

(4)

Ez az összefüggés fönnáll az impulzusmomentum és a pályasugár jelenlegi

L_{H 1}

és

D_{1}

értéke mellett is, és

Δ t

idővel később is, amikor az impulzusmomentum értéke a

τ

forgatónyomaték hatására

L_{H 1} + τ Δ t

lesz, a Hold pályasugara pedig

D_{1} + Δ D

-re nő. Mivel

\begin{matrix} \sqrt[]{D + Δ D} \approx \sqrt[]{D} + \frac{Δ D}{2 \sqrt[]{D}}, \end{matrix}

azért a (4) összefüggésben a két oldal megváltozására azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} Δ L_{1 M} = τ Δ t = \frac{M_{H}}{2} \sqrt[]{\frac{G M_{F}}{D_{1}}} Δ D . \end{matrix}

Innen

Δ D

-t kifejezve, és

Δ t = 1 év = 3,1 \cdot 10^{7} s

értékkel számolva a Hold jelenlegi éves távolodására azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} Δ D_{1} = \frac{2 τ Δ t}{M_{H}} \sqrt[]{\frac{D_{1}}{G M_{F}}} = 0, 034 m = 3, 4 cm . \end{matrix}

(5)

A (3) formulával megadott

τ

forgatónyomaték csökkenti a Föld impulzusmomentumát,

Δ L_{F} = - τ Δ t = I_{F} Δ ω_{F}

, ahonnan

Δ t = 1

év alatt a jelenlegi szögsebesség-változás:

\begin{matrix} Δ ω_{F 1} = - \frac{τ Δ t}{I_{F}} = - 1, 6 \cdot 10^{- 14} \frac{1}{s} . \end{matrix}

(6)

Mivel a periódusidő

T_{F} = \frac{2 π}{ω}

, a nap hossza egy év alatt

\begin{matrix} Δ T_{F} = 2 π (\frac{1}{ω + Δ ω} - \frac{1}{ω}) \approx - \frac{2 π}{ω^{2}} Δ ω = 1, 9 \cdot 10^{- 5} s \end{matrix}

értékkel nő.

4. Hová lesz az energia?
4a‐4b. Korábban (a 3g. pontban) láttuk, hogy a körpályán keringő Hold szögsebessége

\begin{matrix} ω_{H 1} = \sqrt[]{\frac{G M_{F}}{D_{1}^{3}}} . \end{matrix}

Ezt felhasználva a Föld‐Hold rendszer mechanikai energiája jelenleg:

\begin{matrix} E = \frac{I_{F} ω_{F 1}^{2}}{2} + \frac{I_{H} ω_{H 1}^{2}}{2} - \frac{G M_{F} M_{H}}{D_{1}} = \frac{I_{F} ω_{F 1}^{2}}{2} - \frac{G M_{F} M_{H}}{2 D_{1}} . \end{matrix}

Figyelembe véve, hogy

\begin{matrix} Δ (ω^{2}) = {(ω + Δ ω)}^{2} - ω^{2} \approx 2 ω Δ ω, és Δ (\frac{1}{D}) = \frac{1}{D + Δ D} - \frac{1}{D} \approx - \frac{Δ D}{D^{2}}, \end{matrix}

valamint felhasználva az (5)‐(6) eredményeket, az egy év alatt bekövetkező energiaváltozás:

\begin{matrix} Δ E = I_{F} ω_{F 1} Δ ω_{F 1} + \frac{G M_{F} M_{H}}{2 D_{1}^{2}} Δ D_{1} = - 9, 0 \cdot 10^{19} J. \end{matrix}

(7)

4c‐4d. A Föld teljes felszínét

h = 0, 5

m vastagon beborító vízréteg tömege:

\begin{matrix} M_{víz} = 4 π r_{0}^{2} h ϱ_{víz} = 2, 6 \cdot 10^{17} kg. \end{matrix}

A víz viszkozitása miatt egy év alatt disszipálódott energia:

\begin{matrix} Δ E_{víz} = - g M_{víz} h \cdot 2 \cdot 365 \cdot 0, 1 = - 9, 3 \cdot 10^{19} J, \end{matrix}

ami jól egyezik a (7) egyenletben kapott energiacsökkenéssel.