Feladat: 2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2009/november, 491 - 494. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Pontrendszerek mozgásegyenletei, A Hold mozgásával kapcsolatos jelenségek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/október: 2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

1. feladat. A Föld‐Hold rendszer fejlődése
 

A tudósok nagy pontossággal meg tudják határozni a Föld‐Hold távolságot. Ezt úgy végzik el, hogy űrhajósok által 1969-ben a Holdra helyezett speciális tükörre lőtt lézersugár visszaverődési idejét mérik (hátsó belső borító, bal felső ábra).
Ilyen módszerrel közvetlenül megmutatható, hogy a Hold lassan távolodik a Földtől, azaz a Föld‐Hold távolság időben lassan növekszik. Ennek oka az, hogy az árapály jelenség során a Föld forgatónyomatékkal hat a Holdra, és így (pálya-) impulzusmomentumát (perdületét) megváltoztatja (1. ábra). Ebben a feladatban ennek a jelenségnek a legfontosabb paramétereit vizsgáljuk meg.
 
 

1. ábra. A Hold gravitációs hatása következtében a Föld vízfelszínén árapály deformációk, kitüremkedések (,,bulges'') jönnek létre. A Föld forgása miatt a kitüremkedések tengelye nem esik pontosan egybe a Föld‐Hold egyenessel. Ez a kis eltérés olyan forgatónyomatékot eredményez, mely a Föld forgásának impulzusmomentumát csökkenti, a Hold pálya menti impulzusmomentumát pedig növeli. Az ábra nem méretarányos
 

1. Impulzusmomentum-megmaradás
Legyen L1 a Föld‐Hold rendszer jelenlegi impulzusmomentuma. Éljünk a következő közelítő feltevésekkel:
i) L1 csupán a Földnek a tengely körüli forgásából adódó impulzusmomentumának és a Holdnak a Föld körüli keringéséből adódó (pálya-)impulzusmomentumának összege.
ii) A Hold pályája köralakú, és a Hold pontszerűnek tekinthető.
iii) A Föld forgástengelye és a Hold keringésének tengelye párhuzamos.
iv) A számolás egyszerűsítése érdekében úgy tekintjük, hogy a mozgás a Föld középpontja körül megy végbe, nem pedig a rendszer tömegközéppontja körül. Ebben a feladatban mindenütt minden tehetetlenségi nyomatékot, impulzusmomentumot illetve forgatónyomatékot a Föld tengelyére vonatkoztatunk.
v) A Nap hatását elhanyagoljuk.
1.a. Add meg a Föld‐Hold rendszer jelenlegi teljes impulzusmomentumát! Válaszodat a következő mennyiségekkel fejezd ki: a Föld tehetetlenségi nyomatéka: IF; a Föld forgásának jelenlegi szögsebessége: ωF1; a Hold jelenlegi tehetetlenségi nyomatéka a Föld tengelyére vonatkoztatva: IH1; a Hold keringésének jelenlegi szögsebessége: ωH1.
Ez az impulzusmomentum-átadási folyamat addig tart, amíg a Föld forgásának periódusideje egyenlővé nem válik a Hold Föld körüli keringésének idejével. Ekkor a Hold által az óceánok felszínén okozott árapály kitüremkedések (,,bulges'') tengelye egybe fog esni a Föld‐Hold egyenessel, és a két égitest közti forgatónyomaték nullává válik.
1.b. Add meg a Föld‐Hold rendszer teljes L2 impulzusmomentumát ebben a végső helyzetben! Ugyanazokkal az egyszerűsítő feltevésekkel dolgozz, mint az 1.a. feladatban. Végeredményedet a következő mennyiségekkel fejezd ki: a Föld tehetetlenségi nyomatéka: IF; a Föld forgásának és a Hold keringésének végső szögsebessége: ω2; a Hold végső tehetetlenségi nyomatéka: IH2.
1.c. A végső teljes impulzusmomentumban a Föld forgásának járulékát elhanyagolva írd föl az impulzusmomentum-megmaradás egyenletét erre a problémára!
 
2. Végső pályasugár és végső szögsebesség a Föld‐Hold rendszerben
Tegyük föl, hogy a Holdat a gravitációs erő minden esetben a Föld körüli körpályán tartja. A végső, teljes impulzusmomentumban a Föld forgásának járulékát hanyagoljuk el.
2.a. A végső helyzetben írd föl a Föld körül keringő Holdra a körmozgás alapegyenletét a következő mennyiségek felhasználásával: MF, ω2, G és D2, ahol D2 a végső távolság a Föld és a Hold között, MF a Föld tömege, G pedig a gravitációs állandó.
2.b. Add meg a Hold végső pályasugarát, D2-t a következő mennyiségekkel: a rendszer teljes impulzusmomentuma: L1; a Föld, illetve a Hold tömege: MF, illetve MH; a gravitációs állandó G.
2.c. Add meg a Föld‐Hold rendszer végső ω2 szögsebességének képletét az L1, MF, MH és G mennyiségek segítségével!
Most D2 és ω2 számszerű értékét határozzuk meg. Ehhez szükség van a Föld tehetetlenségi nyomatékára.
2.d. Tételezzük föl, hogy a Föld sűrűsége belül, a középponttól r1 sugárig ϱ1, míg ezen kívül, tehát az r1 sugártól a felszínig, r0-ig a sűrűség ϱ0. Add meg a Föld IF tehetetlenségi nyomatékának képletét (2. ábra)!
 
 

2. ábra. A gömb alakú Föld a két különböző, ϱ1 és ϱ0 sűrűségű tartománnyal
 

Ebben a feladatban a kért számadatokat minden esetben két értékes jegy pontossággal határozd meg!
2.e. Határozd meg a Föld IF tehetetlenségi nyomatékának számértékét, felhasználva, hogy ϱ1=1,3104kg m-3, r1=3,5106 m, ϱ0=4,0103kg m-3 és
r0=6,4106 m.
A Föld, illetve a Hold tömege MF=6,01024 kg, illetve MH=7,31022 kg. A két égitest jelenlegi távolsága D1=3,8108 m. A Föld forgásának jelenlegi szögsebessége ωF1=7,310-5s-1. A Hold Föld körüli keringésének jelenlegi szögsebessége ωH1=2,710-6s-1, a gravitációs állandó értéke pedig
G=6,710-11m3kg-1s-2.
2.f. Határozd meg a rendszer L1 teljes impulzusmomentumának számértékét!
2.g. Határozd meg a végső, D2 pályasugár értékét méterben, valamint a jelenlegi, D1 pályasugár arányában!
2.h. Határozd meg a végső, ω2 szögsebesség értékét s-1-ban, valamint add meg a végső helyzetben egy nap hosszát a jelenlegi nap hosszának arányában!
Ellenőrizd, hogy a végső, teljes impulzusmomentumban a Föld forgásából adódó járulék valóban elhanyagolható! Ehhez azt kell megmutatni, hogy a Föld és a Hold végső impulzusmomentumának aránya kis szám.
2.i. Határozd meg a végső helyzetben a Föld és a Hold impulzusmomentumának arányát!
 
3. Mennyivel távolodik a Hold évenként?
Ebben a részben azt határozzuk meg, hogy mennyivel távolodik a Hold a Földtől évenként. Ehhez először ki kell számolni, hogy jelenleg mekkora forgatónyomatékot fejt ki a Föld a Holdra. Tegyük fel, hogy az árapály deformációból származó kitüremkedések két m tömegű tömegponttal közelíthetőek, melyek a Föld felszínén helyezkednek el (3. ábra). Legyen továbbá ϑ a Föld‐Hold egyenesnek a kitüremkedések tengelyével bezárt szöge.
 
 

3. ábra. Vázlat a dagály-kitüremkedések által a Holdra kifejtett forgatónyomaték számolásához. Az ábra nem méretarányos
 

3.a. Add meg a Holdhoz közelebbi tömegpont Holdra ható gravitációs erejének Fc nagyságát!
3.b. Add meg a Holdtól távolabbi tömegpont Holdra ható gravitációs erejének Ff nagyságát!
Ezután meghatározhatjuk a tömegpontok forgatónyomatékát.
3.c. Határozd meg a közelebbi tömegpont Holdra ható τc forgatónyomatékának nagyságát!
3.d. Határozd meg a közelebbi tömegpont Holdra ható τf forgatónyomatékának nagyságát!
3.e. Határozd meg a két tömegpont τ eredő forgatónyomatékának nagyságát! Mivel r0D1, az eredményt r0/D1 első nem eltűnő hatványáig sorbafejtve add meg. Felhasználhatod, hogy (1+x)a1+ax, ha x1.
3.f. Add meg a τ forgatónyomaték számértékét, felhasználva, hogy ϑ=3, és m=3,61016 kg. (Megjegyzendő, hogy ennek a tömegnek a nagyságrendje 10-8-szorosa a Föld tömegének.)
Felhasználva, hogy a forgatónyomaték az impulzusmomentum időbeli változási sebessége, határozd meg a Föld‐Hold távolság éves növekedésének jelenlegi értékét! Ehhez fejezd ki a Hold impulzusmomentumát kizárólag az MH, MF, D1 és G mennyiségekkel.
3.g. Határozd meg a Föld‐Hold távolság évenkénti növekedésének jelenlegi értékét!
Végül becsüld meg, hogy mennyivel nő egy év alatt egy nap hossza.
3.h. Add meg, hogy egy év alatt mennyivel csökken ωF1, és jelenleg mennyivel nő egy nap hossza egy év alatt!
 
4. Hová lesz az energia? Az impulzusmomentummal szemben, ami megmarad, a rendszer teljes mechanikai energiája (forgási és gravitációs) nem állandó. Az utolsó részben ezt a kérdést vizsgáljuk.
4.a. Add meg a Föld‐Hold rendszer teljes E mechanikai energiáját (forgási- plusz gravitációs energiáját) az égitestek jelenlegi helyzetében! Az eredményt kizárólag az IF, ωF1 , MH, MF, D1 és G mennyiségekkel fejezd ki!
4.b. Fejezd ki az E energia megváltozását, ΔE-t a D1 és ωF1 mennyiségek megváltzásával! Határozd meg ΔE számszerű értékét egy évre vonatkoztatva, felhasználva a D1 és ωF1 mennyiségek megváltozásának 3g és 3h pontban kiszámolt értékét!
Most ellenőrizzük, hogy az így kapott energiaveszteség összeegyeztethető azzal a hővel, amit a Hold árapály hatása hoz létre a Földön. Tegyük föl, hogy a dagály átlagosan 0,5 m-rel emel meg egy h=0,5 m mély vízréteget, a Föld teljes felszínén. (Az egyszerűség kedvéért tegyük föl, hogy a Föld teljes felszíne vízzel van borítva.) Ez az emelkedés (dagály) minden nap kétszer következik be. Tegyük fel továbbá, hogy a víz viszkozitásának következtében ennek a gravitációs energiának 10%-a disszipálódik hő formájában apály alkalmával. A víz sűrűsége ϱvíz=103kg m-3, és a Föld felszínén a gravitációs gyorsulás g=9,8m s-2.
4.c. Mekkora a szóban forgó felületi vízréteg tömege?
4.d. Határozd meg, hogy mennyi energia disszipálódik egy év alatt! Milyen viszonyban áll ez a Föld‐Hold rendszer mechanikai energiájának jelenlegi évenkénti csökkenésével?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Impulzusmomentum-megmaradás
1a‐1c. A Föld‐Hold rendszer teljes impulzusmomentuma a Föld forgásából és a Hold keringéséből származó két tag összege. A feladat jelöléseit használva kezdetben az impulzusmomentum L1=IFωF1+IH1ωH1, a folyamat végén pedig, amikor a Föld forgásának és a Hold keringésének szögsebessége megegyezik, L2=IFω2+IH2ω2. Az impulzusmomentum-megmaradás tétel értelmében L1=L2, és L2-ben a Föld impulzusmomentumát elhanyagolva azt kapjuk, hogy

L1=IFωF1+IH1ωH1=IH2ω2.(1)
(Emlékeztetőül, az impulzusmomentumot L, a tehetetlenségi nyomatékot I, a szögsebességet ω jelöli. Az 1 index a kezdeti állapotra, 2 a végső állapotra, F a Földre, H pedig a Holdra utal.)
 
2. Végső pályasugár és szögsebesség a Föld‐Hold rendszerben
2a‐2c. Feltételezve, hogy a Hold a végső helyzetben is körpályán kering a Föld körül, mozgásegyenletére (rendezés után) az adódik, hogy ω22D23=GMF, ahol D2 a végső pályasugár, G a gravitációs állandó, MF pedig a Föld tömege. Felhasználva az L1-re kapott (1) összefüggést, valamint hogy IH2=MHD22, a végső pályasugarat és szögsebességet könnyen kifejezhetjük a kért mennyiségekkel:
D2=L12GMFMH2,ω2=G2MF2MH3L13.(2)

2d‐2e. Közismert, hogy az R sugarú, M tömegű homogén gömb tehetetlenségi nyomatéka 25MR2. Ennek felhasználásával, a feladatban leírt modell alapján a Föld tehetetlenségi nyomatéka
IF=254π3(r15ϱ1+(r05-r15)ϱ0)=8,01037kg m2.
(Az első tag az r1 sugarú, ϱ1 sűrűségű belső mag járuléka, míg a második tag az r0 külső sugarú, ϱ0 sűrűségű külső köpeny járuléka.)
2f‐2h. A feladatban megadott adatokat a már felírt (1)‐(2) formulákba behelyettesítve a keresett számértékek könnyen meghatározhatók:
L1=3,41034kg  m2s,D2=5,4108m,tehát  D2=1,4D1,ω2=1,610-61s,így a periódusidő  46  nap.

2i. A végső helyzetben a Föld impulzusmomentuma IFω2=1,31032kg  m2s, míg a Holdé IH2ω2=3,41034kg  m2s, ami közel 260-szorosa a Földének, tehát a számolás elején tett elhanyagolás valóban jogos volt.
 
3. Mennyivel távolodik a Hold évenként?
A Földön levő vízréteg szabad felszíne állandó gravitációs potenciálú felületen helyezkedik el. Ha csak a Föld gravitációs terét vennénk figyelembe, akkor az ekvipotenciális felületek koncentrikus gömbök lennének. A Hold gravitációs terének hatására e gömbök deformálódnak; a Föld Hold felé eső, és azzal átellenesen elhelyezkedő pontjukban ,,kitüremkedések'' jönnek létre. (Ezeknek a kitüremkedéseknek a forgó Földhöz képesti mozgását érzékeljük árapályként.) A Föld forgása miatt a kitüremkedések kicsiny ϑ>0 szöggel kifordulnak a Föld‐Hold egyenesből. A feladat szerinti modellben a kitüremkedéseket két m tömegű tömegponttal helyettesítjük, melyek a Föld felszínének átellenes pontjaiban helyezkednek el, ahogy az 1. ábrán látható.
 

 
1. ábra
 

Mivel ϑ>0, a két égitest forgatónyomatékot fejt ki egymásra, mely a Föld forgását lassítja, a Hold pályamenti impulzusmomentumát pedig növeli.
3a‐3f. Az egyszerű modell alapján könnyen kiszámolhatjuk két tömegpont Holdra ható forgatónyomatékát.
A koszinusztétel alapján a tömegpontok távolsága a Holdtól
d±=D12+r02±2D1r0cosϑ,
tehát a tömegpontok és a Hold közti gravitációs erő
F±=GmMHd±.
Az ODH háromszög területét kétféleképpen fölírva 12r0D1sinϑ=12k+d+, ahonnan az F+ erőhöz tartozó erőkar
k+=r0D1sinϑd+.
Hasonló formula kapható a másik erőkarra is, így a két tömegpont által kifejtett forgatónyomaték:
τ±=F±k±=GmMHr0D1sinϑ(D12+r02±2D1r0cosϑ)32.

Egyszerűsítsünk D13-el és alkalmazzuk az (1+ε)a1+εa közelítő formulát, mely ε1 esetén érvényes, figyelembe véve, hogy esetünkben r0D11.
τ±=GmMHr0sinϑD12(1+r02D12±2r0D1cosϑ)-32GmMHr0sinϑD12(1-32r02D123r0D1cosϑ).

A fenti közelítéssel élve a Holdra ható, keringését gyorsító eredő forgatónyomaték:
τ=τ--τ+6GmMHr02sinϑcosϑD13=4,11016Nm.  (3)

3g‐3h. A Föld körül körpályán keringő Hold mozgásegyenlete
GMFMHD2=MHDωH2,
ahonnan a Hold szögsebessége ωH=GMFD3. Ennek felhasználásával a Hold impulzusmomentuma a keringési sugárral kifejezve:
LH=IHωH=MHDGMF.(4)
Ez az összefüggés fönnáll az impulzusmomentum és a pályasugár jelenlegi LH1 és D1 értéke mellett is, és Δt idővel később is, amikor az impulzusmomentum értéke a τ forgatónyomaték hatására LH1+τΔt lesz, a Hold pályasugara pedig D1+ΔD-re nő. Mivel
D+ΔDD+ΔD2D,
azért a (4) összefüggésben a két oldal megváltozására azt kapjuk, hogy
ΔL1M=τΔt=MH2GMFD1ΔD.
Innen ΔD-t kifejezve, és Δt=1év=3,1107s értékkel számolva a Hold jelenlegi éves távolodására azt kapjuk, hogy
ΔD1=2τΔtMHD1GMF=0,034m=3,4cm.(5)

A (3) formulával megadott τ forgatónyomaték csökkenti a Föld impulzusmomentumát, ΔLF=-τΔt=IFΔωF, ahonnan Δt=1 év alatt a jelenlegi szögsebesség-változás:
ΔωF1=-τΔtIF=-1,610-141s.(6)
Mivel a periódusidő TF=2πω, a nap hossza egy év alatt
ΔTF=2π(1ω+Δω-1ω)-2πω2Δω=1,910-5s  
értékkel nő.
 
4. Hová lesz az energia?
4a‐4b. Korábban (a 3g. pontban) láttuk, hogy a körpályán keringő Hold szögsebessége
ωH1=GMFD13.
Ezt felhasználva a Föld‐Hold rendszer mechanikai energiája jelenleg:
E=IFωF122+IHωH122-GMFMHD1=IFωF122-GMFMH2D1.
Figyelembe véve, hogy
Δ(ω2)=(ω+Δω)2-ω22ωΔω,  és  Δ(1D)=1D+ΔD-1D-ΔDD2,
valamint felhasználva az (5)‐(6) eredményeket, az egy év alatt bekövetkező energiaváltozás:
ΔE=IFωF1ΔωF1+GMFMH2D12ΔD1=-9,01019J.  (7)

4c‐4d. A Föld teljes felszínét h=0,5 m vastagon beborító vízréteg tömege:
Mvíz=4πr02hϱvíz=2,61017kg.  
A víz viszkozitása miatt egy év alatt disszipálódott energia:
ΔEvíz=-gMvízh23650,1=-9,31019J,  
ami jól egyezik a (7) egyenletben kapott energiacsökkenéssel.