1. feladat. A Föld‐Hold rendszer fejlődése A tudósok nagy pontossággal meg tudják határozni a Föld‐Hold távolságot. Ezt úgy végzik el, hogy űrhajósok által 1969-ben a Holdra helyezett speciális tükörre lőtt lézersugár visszaverődési idejét mérik (hátsó belső borító, bal felső ábra). Ilyen módszerrel közvetlenül megmutatható, hogy a Hold lassan távolodik a Földtől, azaz a Föld‐Hold távolság időben lassan növekszik. Ennek oka az, hogy az árapály jelenség során a Föld forgatónyomatékkal hat a Holdra, és így (pálya-) impulzusmomentumát (perdületét) megváltoztatja (1. ábra). Ebben a feladatban ennek a jelenségnek a legfontosabb paramétereit vizsgáljuk meg.
1. ábra. A Hold gravitációs hatása következtében a Föld vízfelszínén árapály deformációk, kitüremkedések (,,bulges'') jönnek létre. A Föld forgása miatt a kitüremkedések tengelye nem esik pontosan egybe a Föld‐Hold egyenessel. Ez a kis eltérés olyan forgatónyomatékot eredményez, mely a Föld forgásának impulzusmomentumát csökkenti, a Hold pálya menti impulzusmomentumát pedig növeli. Az ábra nem méretarányos 1. Impulzusmomentum-megmaradás Legyen a Föld‐Hold rendszer jelenlegi impulzusmomentuma. Éljünk a következő közelítő feltevésekkel: csupán a Földnek a tengely körüli forgásából adódó impulzusmomentumának és a Holdnak a Föld körüli keringéséből adódó (pálya-)impulzusmomentumának összege. A Hold pályája köralakú, és a Hold pontszerűnek tekinthető. A Föld forgástengelye és a Hold keringésének tengelye párhuzamos. A számolás egyszerűsítése érdekében úgy tekintjük, hogy a mozgás a Föld középpontja körül megy végbe, nem pedig a rendszer tömegközéppontja körül. Ebben a feladatban mindenütt minden tehetetlenségi nyomatékot, impulzusmomentumot illetve forgatónyomatékot a Föld tengelyére vonatkoztatunk. A Nap hatását elhanyagoljuk. 1.a. Add meg a Föld‐Hold rendszer jelenlegi teljes impulzusmomentumát! Válaszodat a következő mennyiségekkel fejezd ki: a Föld tehetetlenségi nyomatéka: ; a Föld forgásának jelenlegi szögsebessége: ; a Hold jelenlegi tehetetlenségi nyomatéka a Föld tengelyére vonatkoztatva: ; a Hold keringésének jelenlegi szögsebessége: . Ez az impulzusmomentum-átadási folyamat addig tart, amíg a Föld forgásának periódusideje egyenlővé nem válik a Hold Föld körüli keringésének idejével. Ekkor a Hold által az óceánok felszínén okozott árapály kitüremkedések (,,bulges'') tengelye egybe fog esni a Föld‐Hold egyenessel, és a két égitest közti forgatónyomaték nullává válik. 1.b. Add meg a Föld‐Hold rendszer teljes impulzusmomentumát ebben a végső helyzetben! Ugyanazokkal az egyszerűsítő feltevésekkel dolgozz, mint az 1.a. feladatban. Végeredményedet a következő mennyiségekkel fejezd ki: a Föld tehetetlenségi nyomatéka: ; a Föld forgásának és a Hold keringésének végső szögsebessége: ; a Hold végső tehetetlenségi nyomatéka: . 1.c. A végső teljes impulzusmomentumban a Föld forgásának járulékát elhanyagolva írd föl az impulzusmomentum-megmaradás egyenletét erre a problémára!
2. Végső pályasugár és végső szögsebesség a Föld‐Hold rendszerben Tegyük föl, hogy a Holdat a gravitációs erő minden esetben a Föld körüli körpályán tartja. A végső, teljes impulzusmomentumban a Föld forgásának járulékát hanyagoljuk el. 2.a. A végső helyzetben írd föl a Föld körül keringő Holdra a körmozgás alapegyenletét a következő mennyiségek felhasználásával: , , és , ahol a végső távolság a Föld és a Hold között, a Föld tömege, pedig a gravitációs állandó. 2.b. Add meg a Hold végső pályasugarát, -t a következő mennyiségekkel: a rendszer teljes impulzusmomentuma: ; a Föld, illetve a Hold tömege: , illetve ; a gravitációs állandó . 2.c. Add meg a Föld‐Hold rendszer végső szögsebességének képletét az , , és mennyiségek segítségével! Most és számszerű értékét határozzuk meg. Ehhez szükség van a Föld tehetetlenségi nyomatékára. 2.d. Tételezzük föl, hogy a Föld sűrűsége belül, a középponttól sugárig , míg ezen kívül, tehát az sugártól a felszínig, -ig a sűrűség . Add meg a Föld tehetetlenségi nyomatékának képletét (2. ábra)!
2. ábra. A gömb alakú Föld a két különböző, és sűrűségű tartománnyal Ebben a feladatban a kért számadatokat minden esetben két értékes jegy pontossággal határozd meg! 2.e. Határozd meg a Föld tehetetlenségi nyomatékának számértékét, felhasználva, hogy , m, és m. A Föld, illetve a Hold tömege kg, illetve kg. A két égitest jelenlegi távolsága m. A Föld forgásának jelenlegi szögsebessége . A Hold Föld körüli keringésének jelenlegi szögsebessége , a gravitációs állandó értéke pedig . 2.f. Határozd meg a rendszer teljes impulzusmomentumának számértékét! 2.g. Határozd meg a végső, pályasugár értékét méterben, valamint a jelenlegi, pályasugár arányában! 2.h. Határozd meg a végső, szögsebesség értékét s-ban, valamint add meg a végső helyzetben egy nap hosszát a jelenlegi nap hosszának arányában! Ellenőrizd, hogy a végső, teljes impulzusmomentumban a Föld forgásából adódó járulék valóban elhanyagolható! Ehhez azt kell megmutatni, hogy a Föld és a Hold végső impulzusmomentumának aránya kis szám. 2.i. Határozd meg a végső helyzetben a Föld és a Hold impulzusmomentumának arányát!
3. Mennyivel távolodik a Hold évenként? Ebben a részben azt határozzuk meg, hogy mennyivel távolodik a Hold a Földtől évenként. Ehhez először ki kell számolni, hogy jelenleg mekkora forgatónyomatékot fejt ki a Föld a Holdra. Tegyük fel, hogy az árapály deformációból származó kitüremkedések két tömegű tömegponttal közelíthetőek, melyek a Föld felszínén helyezkednek el (3. ábra). Legyen továbbá a Föld‐Hold egyenesnek a kitüremkedések tengelyével bezárt szöge.
3. ábra. Vázlat a dagály-kitüremkedések által a Holdra kifejtett forgatónyomaték számolásához. Az ábra nem méretarányos 3.a. Add meg a Holdhoz közelebbi tömegpont Holdra ható gravitációs erejének nagyságát! 3.b. Add meg a Holdtól távolabbi tömegpont Holdra ható gravitációs erejének nagyságát! Ezután meghatározhatjuk a tömegpontok forgatónyomatékát. 3.c. Határozd meg a közelebbi tömegpont Holdra ható forgatónyomatékának nagyságát! 3.d. Határozd meg a közelebbi tömegpont Holdra ható forgatónyomatékának nagyságát! 3.e. Határozd meg a két tömegpont eredő forgatónyomatékának nagyságát! Mivel , az eredményt első nem eltűnő hatványáig sorbafejtve add meg. Felhasználhatod, hogy , ha . 3.f. Add meg a forgatónyomaték számértékét, felhasználva, hogy , és kg. (Megjegyzendő, hogy ennek a tömegnek a nagyságrendje -szorosa a Föld tömegének.) Felhasználva, hogy a forgatónyomaték az impulzusmomentum időbeli változási sebessége, határozd meg a Föld‐Hold távolság éves növekedésének jelenlegi értékét! Ehhez fejezd ki a Hold impulzusmomentumát kizárólag az , , és mennyiségekkel. 3.g. Határozd meg a Föld‐Hold távolság évenkénti növekedésének jelenlegi értékét! Végül becsüld meg, hogy mennyivel nő egy év alatt egy nap hossza. 3.h. Add meg, hogy egy év alatt mennyivel csökken , és jelenleg mennyivel nő egy nap hossza egy év alatt!
4. Hová lesz az energia? Az impulzusmomentummal szemben, ami megmarad, a rendszer teljes mechanikai energiája (forgási és gravitációs) nem állandó. Az utolsó részben ezt a kérdést vizsgáljuk. 4.a. Add meg a Föld‐Hold rendszer teljes mechanikai energiáját (forgási- plusz gravitációs energiáját) az égitestek jelenlegi helyzetében! Az eredményt kizárólag az , , , , és mennyiségekkel fejezd ki! 4.b. Fejezd ki az energia megváltozását, -t a és mennyiségek megváltzásával! Határozd meg számszerű értékét egy évre vonatkoztatva, felhasználva a és mennyiségek megváltozásának és pontban kiszámolt értékét! Most ellenőrizzük, hogy az így kapott energiaveszteség összeegyeztethető azzal a hővel, amit a Hold árapály hatása hoz létre a Földön. Tegyük föl, hogy a dagály átlagosan 0,5 m-rel emel meg egy m mély vízréteget, a Föld teljes felszínén. (Az egyszerűség kedvéért tegyük föl, hogy a Föld teljes felszíne vízzel van borítva.) Ez az emelkedés (dagály) minden nap kétszer következik be. Tegyük fel továbbá, hogy a víz viszkozitásának következtében ennek a gravitációs energiának 10%-a disszipálódik hő formájában apály alkalmával. A víz sűrűsége , és a Föld felszínén a gravitációs gyorsulás . 4.c. Mekkora a szóban forgó felületi vízréteg tömege? 4.d. Határozd meg, hogy mennyi energia disszipálódik egy év alatt! Milyen viszonyban áll ez a Föld‐Hold rendszer mechanikai energiájának jelenlegi évenkénti csökkenésével?
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Impulzusmomentum-megmaradás 1a‐1c. A Föld‐Hold rendszer teljes impulzusmomentuma a Föld forgásából és a Hold keringéséből származó két tag összege. A feladat jelöléseit használva kezdetben az impulzusmomentum , a folyamat végén pedig, amikor a Föld forgásának és a Hold keringésének szögsebessége megegyezik, . Az impulzusmomentum-megmaradás tétel értelmében , és -ben a Föld impulzusmomentumát elhanyagolva azt kapjuk, hogy | | (1) | (Emlékeztetőül, az impulzusmomentumot , a tehetetlenségi nyomatékot , a szögsebességet jelöli. Az 1 index a kezdeti állapotra, 2 a végső állapotra, F a Földre, H pedig a Holdra utal.)
2. Végső pályasugár és szögsebesség a Föld‐Hold rendszerben 2a‐2c. Feltételezve, hogy a Hold a végső helyzetben is körpályán kering a Föld körül, mozgásegyenletére (rendezés után) az adódik, hogy , ahol a végső pályasugár, a gravitációs állandó, pedig a Föld tömege. Felhasználva az -re kapott (1) összefüggést, valamint hogy , a végső pályasugarat és szögsebességet könnyen kifejezhetjük a kért mennyiségekkel: | | (2) |
2d‐2e. Közismert, hogy az sugarú, tömegű homogén gömb tehetetlenségi nyomatéka . Ennek felhasználásával, a feladatban leírt modell alapján a Föld tehetetlenségi nyomatéka | | (Az első tag az sugarú, sűrűségű belső mag járuléka, míg a második tag az külső sugarú, sűrűségű külső köpeny járuléka.) 2f‐2h. A feladatban megadott adatokat a már felírt (1)‐(2) formulákba behelyettesítve a keresett számértékek könnyen meghatározhatók:
2i. A végső helyzetben a Föld impulzusmomentuma IFω2=1,3⋅1032kg m2s, míg a Holdé IH2ω2=3,4⋅1034kg m2s, ami közel 260-szorosa a Földének, tehát a számolás elején tett elhanyagolás valóban jogos volt.
3. Mennyivel távolodik a Hold évenként? A Földön levő vízréteg szabad felszíne állandó gravitációs potenciálú felületen helyezkedik el. Ha csak a Föld gravitációs terét vennénk figyelembe, akkor az ekvipotenciális felületek koncentrikus gömbök lennének. A Hold gravitációs terének hatására e gömbök deformálódnak; a Föld Hold felé eső, és azzal átellenesen elhelyezkedő pontjukban ,,kitüremkedések'' jönnek létre. (Ezeknek a kitüremkedéseknek a forgó Földhöz képesti mozgását érzékeljük árapályként.) A Föld forgása miatt a kitüremkedések kicsiny ϑ>0 szöggel kifordulnak a Föld‐Hold egyenesből. A feladat szerinti modellben a kitüremkedéseket két m tömegű tömegponttal helyettesítjük, melyek a Föld felszínének átellenes pontjaiban helyezkednek el, ahogy az 1. ábrán látható.
 1. ábra Mivel ϑ>0, a két égitest forgatónyomatékot fejt ki egymásra, mely a Föld forgását lassítja, a Hold pályamenti impulzusmomentumát pedig növeli. 3a‐3f. Az egyszerű modell alapján könnyen kiszámolhatjuk két tömegpont Holdra ható forgatónyomatékát. A koszinusztétel alapján a tömegpontok távolsága a Holdtól tehát a tömegpontok és a Hold közti gravitációs erő Az ODH háromszög területét kétféleképpen fölírva 12r0D1sinϑ=12k+d+, ahonnan az F+ erőhöz tartozó erőkar Hasonló formula kapható a másik erőkarra is, így a két tömegpont által kifejtett forgatónyomaték: | τ±=F±k±=GmMHr0D1sinϑ(D12+r02±2D1r0cosϑ)32. |
Egyszerűsítsünk D13-el és alkalmazzuk az (1+ε)a≈1+εa közelítő formulát, mely ε≪1 esetén érvényes, figyelembe véve, hogy esetünkben r0D1≪1.
τ±=GmMHr0sinϑD12(1+r02D12±2r0D1cosϑ)-32≈≈GmMHr0sinϑD12(1-32r02D12∓3r0D1cosϑ).
A fenti közelítéssel élve a Holdra ható, keringését gyorsító eredő forgatónyomaték: | τ=τ--τ+≈6GmMHr02sinϑcosϑD13=4,1⋅1016Nm. | (3) |
3g‐3h. A Föld körül körpályán keringő Hold mozgásegyenlete ahonnan a Hold szögsebessége ωH=GMFD3. Ennek felhasználásával a Hold impulzusmomentuma a keringési sugárral kifejezve: Ez az összefüggés fönnáll az impulzusmomentum és a pályasugár jelenlegi LH1 és D1 értéke mellett is, és Δt idővel később is, amikor az impulzusmomentum értéke a τ forgatónyomaték hatására LH1+τΔt lesz, a Hold pályasugara pedig D1+ΔD-re nő. Mivel azért a (4) összefüggésben a két oldal megváltozására azt kapjuk, hogy Innen ΔD-t kifejezve, és Δt=1év=3,1⋅107s értékkel számolva a Hold jelenlegi éves távolodására azt kapjuk, hogy | ΔD1=2τΔtMHD1GMF=0,034m=3,4cm. | (5) |
A (3) formulával megadott τ forgatónyomaték csökkenti a Föld impulzusmomentumát, ΔLF=-τΔt=IFΔωF, ahonnan Δt=1 év alatt a jelenlegi szögsebesség-változás: | ΔωF1=-τΔtIF=-1,6⋅10-141s. | (6) | Mivel a periódusidő TF=2πω, a nap hossza egy év alatt | ΔTF=2π(1ω+Δω-1ω)≈-2πω2Δω=1,9⋅10-5s | értékkel nő.
4. Hová lesz az energia? 4a‐4b. Korábban (a 3g. pontban) láttuk, hogy a körpályán keringő Hold szögsebessége Ezt felhasználva a Föld‐Hold rendszer mechanikai energiája jelenleg: | E=IFωF122+IHωH122-GMFMHD1=IFωF122-GMFMH2D1. | Figyelembe véve, hogy | Δ(ω2)=(ω+Δω)2-ω2≈2ωΔω, és Δ(1D)=1D+ΔD-1D≈-ΔDD2, | valamint felhasználva az (5)‐(6) eredményeket, az egy év alatt bekövetkező energiaváltozás: | ΔE=IFωF1ΔωF1+GMFMH2D12ΔD1=-9,0⋅1019J. | (7) |
4c‐4d. A Föld teljes felszínét h=0,5 m vastagon beborító vízréteg tömege: | Mvíz=4πr02hϱvíz=2,6⋅1017kg. | A víz viszkozitása miatt egy év alatt disszipálódott energia: | ΔEvíz=-gMvízh⋅2⋅365⋅0,1=-9,3⋅1019J, | ami jól egyezik a (7) egyenletben kapott energiacsökkenéssel.
|
|