Kezdőlap


Feladat:	2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2009/november, 491 - 494. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Pontrendszerek mozgásegyenletei, A Hold mozgásával kapcsolatos jelenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/október: 2009. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

1. feladat. A Föld‐Hold rendszer fejlődése

A tudósok nagy pontossággal meg tudják határozni a Föld‐Hold távolságot. Ezt úgy végzik el, hogy űrhajósok által 1969-ben a Holdra helyezett speciális tükörre lőtt lézersugár visszaverődési idejét mérik (hátsó belső borító, bal felső ábra).
Ilyen módszerrel közvetlenül megmutatható, hogy a Hold lassan távolodik a Földtől, azaz a Föld‐Hold távolság időben lassan növekszik. Ennek oka az, hogy az árapály jelenség során a Föld forgatónyomatékkal hat a Holdra, és így (pálya-) impulzusmomentumát (perdületét) megváltoztatja (1. ábra). Ebben a feladatban ennek a jelenségnek a legfontosabb paramétereit vizsgáljuk meg.

1. ábra. A Hold gravitációs hatása következtében a Föld vízfelszínén árapály deformációk, kitüremkedések (,,bulges'') jönnek létre. A Föld forgása miatt a kitüremkedések tengelye nem esik pontosan egybe a Föld‐Hold egyenessel. Ez a kis eltérés olyan forgatónyomatékot eredményez, mely a Föld forgásának impulzusmomentumát csökkenti, a Hold pálya menti impulzusmomentumát pedig növeli. Az ábra nem méretarányos

1. Impulzusmomentum-megmaradás
Legyen

L_{1}

a Föld‐Hold rendszer jelenlegi impulzusmomentuma. Éljünk a következő közelítő feltevésekkel:

i)

L_{1}

csupán a Földnek a tengely körüli forgásából adódó impulzusmomentumának és a Holdnak a Föld körüli keringéséből adódó (pálya-)impulzusmomentumának összege.

i i)

A Hold pályája köralakú, és a Hold pontszerűnek tekinthető.

i i i)

A Föld forgástengelye és a Hold keringésének tengelye párhuzamos.

i v)

A számolás egyszerűsítése érdekében úgy tekintjük, hogy a mozgás a Föld középpontja körül megy végbe, nem pedig a rendszer tömegközéppontja körül. Ebben a feladatban mindenütt minden tehetetlenségi nyomatékot, impulzusmomentumot illetve forgatónyomatékot a Föld tengelyére vonatkoztatunk.

v)

A Nap hatását elhanyagoljuk.
1.a. Add meg a Föld‐Hold rendszer jelenlegi teljes impulzusmomentumát! Válaszodat a következő mennyiségekkel fejezd ki: a Föld tehetetlenségi nyomatéka:

I_{F}

; a Föld forgásának jelenlegi szögsebessége:

ω_{F1}

; a Hold jelenlegi tehetetlenségi nyomatéka a Föld tengelyére vonatkoztatva:

I_{H1}

; a Hold keringésének jelenlegi szögsebessége:

ω_{H1}

.
Ez az impulzusmomentum-átadási folyamat addig tart, amíg a Föld forgásának periódusideje egyenlővé nem válik a Hold Föld körüli keringésének idejével. Ekkor a Hold által az óceánok felszínén okozott árapály kitüremkedések (,,bulges'') tengelye egybe fog esni a Föld‐Hold egyenessel, és a két égitest közti forgatónyomaték nullává válik.
1.b. Add meg a Föld‐Hold rendszer teljes

L_{2}

impulzusmomentumát ebben a végső helyzetben! Ugyanazokkal az egyszerűsítő feltevésekkel dolgozz, mint az 1.a. feladatban. Végeredményedet a következő mennyiségekkel fejezd ki: a Föld tehetetlenségi nyomatéka:

I_{F}

; a Föld forgásának és a Hold keringésének végső szögsebessége:

ω_{2}

; a Hold végső tehetetlenségi nyomatéka:

I_{H2}

.
1.c. A végső teljes impulzusmomentumban a Föld forgásának járulékát elhanyagolva írd föl az impulzusmomentum-megmaradás egyenletét erre a problémára!

2. Végső pályasugár és végső szögsebesség a Föld‐Hold rendszerben
Tegyük föl, hogy a Holdat a gravitációs erő minden esetben a Föld körüli körpályán tartja. A végső, teljes impulzusmomentumban a Föld forgásának járulékát hanyagoljuk el.
2.a. A végső helyzetben írd föl a Föld körül keringő Holdra a körmozgás alapegyenletét a következő mennyiségek felhasználásával:

M_{F}

ω_{2}

G

és

D_{2}

, ahol

D_{2}

a végső távolság a Föld és a Hold között,

M_{F}

a Föld tömege,

G

pedig a gravitációs állandó.
2.b. Add meg a Hold végső pályasugarát,

D_{2}

-t a következő mennyiségekkel: a rendszer teljes impulzusmomentuma:

L_{1}

; a Föld, illetve a Hold tömege:

M_{F}

, illetve

M_{H}

; a gravitációs állandó

G

.
2.c. Add meg a Föld‐Hold rendszer végső

ω_{2}

szögsebességének képletét az

L_{1}

M_{F}

M_{H}

és

G

mennyiségek segítségével!
Most

D_{2}

és

ω_{2}

számszerű értékét határozzuk meg. Ehhez szükség van a Föld tehetetlenségi nyomatékára.
2.d. Tételezzük föl, hogy a Föld sűrűsége belül, a középponttól

r_{1}

sugárig

ϱ_{1}

, míg ezen kívül, tehát az

r_{1}

sugártól a felszínig,

r_{0}

-ig a sűrűség

ϱ_{0}

. Add meg a Föld

I_{F}

tehetetlenségi nyomatékának képletét (2. ábra)!

2. ábra. A gömb alakú Föld a két különböző,

ϱ_{1}

és

ϱ_{0}

sűrűségű tartománnyal

Ebben a feladatban a kért számadatokat minden esetben két értékes jegy pontossággal határozd meg!
2.e. Határozd meg a Föld

I_{F}

tehetetlenségi nyomatékának számértékét, felhasználva, hogy

ϱ_{1} = 1, 3 \cdot 10^{4} {kg m}^{- 3}

r_{1} = 3, 5 \cdot 10^{6}

ϱ_{0} = 4, 0 \cdot 10^{3} {kg m}^{- 3}

és

r_{0} = 6, 4 \cdot 10^{6}

m.
A Föld, illetve a Hold tömege

M_{F} = 6, 0 \cdot 10^{24}

kg, illetve

M_{H} = 7, 3 \cdot 10^{22}

kg. A két égitest jelenlegi távolsága

D_{1} = 3, 8 \cdot 10^{8}

m. A Föld forgásának jelenlegi szögsebessége

ω_{F1} = 7, 3 \cdot 10^{- 5} s^{- 1}

. A Hold Föld körüli keringésének jelenlegi szögsebessége

ω_{H1} = 2, 7 \cdot 10^{- 6} s^{- 1}

, a gravitációs állandó értéke pedig

G = 6, 7 \cdot 10^{- 11} m^{3} {kg}^{- 1} s^{- 2}

.
2.f. Határozd meg a rendszer

L_{1}

teljes impulzusmomentumának számértékét!
2.g. Határozd meg a végső,

D_{2}

pályasugár értékét méterben, valamint a jelenlegi,

D_{1}

pályasugár arányában!
2.h. Határozd meg a végső,

ω_{2}

szögsebesség értékét s

^{- 1}

-ban, valamint add meg a végső helyzetben egy nap hosszát a jelenlegi nap hosszának arányában!
Ellenőrizd, hogy a végső, teljes impulzusmomentumban a Föld forgásából adódó járulék valóban elhanyagolható! Ehhez azt kell megmutatni, hogy a Föld és a Hold végső impulzusmomentumának aránya kis szám.
2.i. Határozd meg a végső helyzetben a Föld és a Hold impulzusmomentumának arányát!

3. Mennyivel távolodik a Hold évenként?
Ebben a részben azt határozzuk meg, hogy mennyivel távolodik a Hold a Földtől évenként. Ehhez először ki kell számolni, hogy jelenleg mekkora forgatónyomatékot fejt ki a Föld a Holdra. Tegyük fel, hogy az árapály deformációból származó kitüremkedések két

m

tömegű tömegponttal közelíthetőek, melyek a Föld felszínén helyezkednek el (3. ábra). Legyen továbbá

ϑ

a Föld‐Hold egyenesnek a kitüremkedések tengelyével bezárt szöge.

3. ábra. Vázlat a dagály-kitüremkedések által a Holdra kifejtett forgatónyomaték számolásához. Az ábra nem méretarányos

3.a. Add meg a Holdhoz közelebbi tömegpont Holdra ható gravitációs erejének

F_{c}

nagyságát!
3.b. Add meg a Holdtól távolabbi tömegpont Holdra ható gravitációs erejének

F_{f}

nagyságát!
Ezután meghatározhatjuk a tömegpontok forgatónyomatékát.
3.c. Határozd meg a közelebbi tömegpont Holdra ható

τ_{c}

forgatónyomatékának nagyságát!
3.d. Határozd meg a közelebbi tömegpont Holdra ható

τ_{f}

forgatónyomatékának nagyságát!
3.e. Határozd meg a két tömegpont

τ

eredő forgatónyomatékának nagyságát! Mivel

r_{0} ≪ D_{1}

, az eredményt

r_{0} / D_{1}

első nem eltűnő hatványáig sorbafejtve add meg. Felhasználhatod, hogy

{(1 + x)}^{a} \approx 1 + a x

, ha

x ≪ 1

.
3.f. Add meg a

τ

forgatónyomaték számértékét, felhasználva, hogy

ϑ = 3^{\circ}

, és

m = 3, 6 \cdot 10^{16}

kg. (Megjegyzendő, hogy ennek a tömegnek a nagyságrendje

10^{- 8}

-szorosa a Föld tömegének.)
Felhasználva, hogy a forgatónyomaték az impulzusmomentum időbeli változási sebessége, határozd meg a Föld‐Hold távolság éves növekedésének jelenlegi értékét! Ehhez fejezd ki a Hold impulzusmomentumát kizárólag az

M_{H}

M_{F}

D_{1}

és

G

mennyiségekkel.
3.g. Határozd meg a Föld‐Hold távolság évenkénti növekedésének jelenlegi értékét!
Végül becsüld meg, hogy mennyivel nő egy év alatt egy nap hossza.
3.h. Add meg, hogy egy év alatt mennyivel csökken

ω_{F1}

, és jelenleg mennyivel nő egy nap hossza egy év alatt!

4. Hová lesz az energia? Az impulzusmomentummal szemben, ami megmarad, a rendszer teljes mechanikai energiája (forgási és gravitációs) nem állandó. Az utolsó részben ezt a kérdést vizsgáljuk.
4.a. Add meg a Föld‐Hold rendszer teljes

E

mechanikai energiáját (forgási- plusz gravitációs energiáját) az égitestek jelenlegi helyzetében! Az eredményt kizárólag az

I_{F}

ω_{F1}

M_{H}

M_{F}

D_{1}

és

G

mennyiségekkel fejezd ki!
4.b. Fejezd ki az

E

energia megváltozását,

Δ E

-t a

D_{1}

és

ω_{F1}

mennyiségek megváltzásával! Határozd meg

Δ E

számszerű értékét egy évre vonatkoztatva, felhasználva a

D_{1}

és

ω_{F1}

mennyiségek megváltozásának

3 g

és

3 h

pontban kiszámolt értékét!
Most ellenőrizzük, hogy az így kapott energiaveszteség összeegyeztethető azzal a hővel, amit a Hold árapály hatása hoz létre a Földön. Tegyük föl, hogy a dagály átlagosan 0,5 m-rel emel meg egy

h = 0, 5

m mély vízréteget, a Föld teljes felszínén. (Az egyszerűség kedvéért tegyük föl, hogy a Föld teljes felszíne vízzel van borítva.) Ez az emelkedés (dagály) minden nap kétszer következik be. Tegyük fel továbbá, hogy a víz viszkozitásának következtében ennek a gravitációs energiának 10%-a disszipálódik hő formájában apály alkalmával. A víz sűrűsége

ϱ_{víz} = 10^{3} {kg m}^{- 3}

, és a Föld felszínén a gravitációs gyorsulás

g = 9, 8 {m s}^{- 2}

.
4.c. Mekkora a szóban forgó felületi vízréteg tömege?
4.d. Határozd meg, hogy mennyi energia disszipálódik egy év alatt! Milyen viszonyban áll ez a Föld‐Hold rendszer mechanikai energiájának jelenlegi évenkénti csökkenésével?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Impulzusmomentum-megmaradás
1a‐1c. A Föld‐Hold rendszer teljes impulzusmomentuma a Föld forgásából és a Hold keringéséből származó két tag összege. A feladat jelöléseit használva kezdetben az impulzusmomentum $L_{1} = I_{F} ω_{F 1} + I_{H 1} ω_{H 1}$ , a folyamat végén pedig, amikor a Föld forgásának és a Hold keringésének szögsebessége megegyezik, $L_{2} = I_{F} ω_{2} + I_{H 2} ω_{2}$ . Az impulzusmomentum-megmaradás tétel értelmében $L_{1} = L_{2}$ , és $L_{2}$ -ben a Föld impulzusmomentumát elhanyagolva azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} L_{1} = I_{F} ω_{F 1} + I_{H 1} ω_{H 1} = I_{H 2} ω_{2} . \end{matrix}

(1)

(Emlékeztetőül, az impulzusmomentumot

L

, a tehetetlenségi nyomatékot

I

, a szögsebességet

ω

jelöli. Az 1 index a kezdeti állapotra, 2 a végső állapotra, F a Földre, H pedig a Holdra utal.)

2. Végső pályasugár és szögsebesség a Föld‐Hold rendszerben
2a‐2c. Feltételezve, hogy a Hold a végső helyzetben is körpályán kering a Föld körül, mozgásegyenletére (rendezés után) az adódik, hogy

ω_{2}^{2} D_{2}^{3} = G M_{F}

, ahol

D_{2}

a végső pályasugár,

G

a gravitációs állandó,

M_{F}

pedig a Föld tömege. Felhasználva az

L_{1}

-re kapott (1) összefüggést, valamint hogy

I_{H 2} = M_{H} D_{2}^{2}

, a végső pályasugarat és szögsebességet könnyen kifejezhetjük a kért mennyiségekkel:

\begin{matrix} D_{2} = \frac{L_{1}^{2}}{G M_{F} M_{H}^{2}}, ω_{2} = \frac{G^{2} M_{F}^{2} M_{H}^{3}}{L_{1}^{3}} . \end{matrix}

(2)

2d‐2e. Közismert, hogy az

R

sugarú,

M

tömegű homogén gömb tehetetlenségi nyomatéka

\frac{2}{5} M R^{2}

. Ennek felhasználásával, a feladatban leírt modell alapján a Föld tehetetlenségi nyomatéka

\begin{matrix} I_{F} = \frac{2}{5} \frac{4 π}{3} (r_{1}^{5} ϱ_{1} + (r_{0}^{5} - r_{1}^{5}) ϱ_{0}) = 8, 0 \cdot 10^{37} {kg m}^{2} . \end{matrix}

(Az első tag az

r_{1}

sugarú,

ϱ_{1}

sűrűségű belső mag járuléka, míg a második tag az

r_{0}

külső sugarú,

ϱ_{0}

sűrűségű külső köpeny járuléka.)
2f‐2h. A feladatban megadott adatokat a már felírt (1)‐(2) formulákba behelyettesítve a keresett számértékek könnyen meghatározhatók:

\begin{matrix} L_{1} & = 3, 4 \cdot 10^{34} \frac{{kg  m}^{2}}{s}, \\ D_{2} & = 5, 4 \cdot 10^{8} m, & tehát D_{2} = 1, 4 D_{1}, \\ ω_{2} & = 1, 6 \cdot 10^{- 6} \frac{1}{s}, & így a periódusidő46nap. \end{matrix}

2i. A végső helyzetben a Föld impulzusmomentuma

I_{F} ω_{2} = 1, 3 \cdot 10^{32} \frac{{kg  m}^{2}}{s}

, míg a Holdé

I_{H 2} ω_{2} = 3, 4 \cdot 10^{34} \frac{{kg  m}^{2}}{s}

, ami közel 260-szorosa a Földének, tehát a számolás elején tett elhanyagolás valóban jogos volt.

3. Mennyivel távolodik a Hold évenként?
A Földön levő vízréteg szabad felszíne állandó gravitációs potenciálú felületen helyezkedik el. Ha csak a Föld gravitációs terét vennénk figyelembe, akkor az ekvipotenciális felületek koncentrikus gömbök lennének. A Hold gravitációs terének hatására e gömbök deformálódnak; a Föld Hold felé eső, és azzal átellenesen elhelyezkedő pontjukban ,,kitüremkedések'' jönnek létre. (Ezeknek a kitüremkedéseknek a forgó Földhöz képesti mozgását érzékeljük árapályként.) A Föld forgása miatt a kitüremkedések kicsiny

ϑ > 0

szöggel kifordulnak a Föld‐Hold egyenesből. A feladat szerinti modellben a kitüremkedéseket két

m

tömegű tömegponttal helyettesítjük, melyek a Föld felszínének átellenes pontjaiban helyezkednek el, ahogy az 1. ábrán látható.

1. ábra

Mivel

ϑ > 0

, a két égitest forgatónyomatékot fejt ki egymásra, mely a Föld forgását lassítja, a Hold pályamenti impulzusmomentumát pedig növeli.
3a‐3f. Az egyszerű modell alapján könnyen kiszámolhatjuk két tömegpont Holdra ható forgatónyomatékát.
A koszinusztétel alapján a tömegpontok távolsága a Holdtól

\begin{matrix} d_{\pm} = D_{1}^{2} + r_{0}^{2} \pm 2 D_{1} r_{0} cos ϑ, \end{matrix}

tehát a tömegpontok és a Hold közti gravitációs erő

\begin{matrix} F_{\pm} = \frac{G m M_{H}}{d_{\pm}} . \end{matrix}

O D H

háromszög területét kétféleképpen fölírva

\frac{1}{2} r_{0} D_{1} sin ϑ = \frac{1}{2} k_{+} d_{+}

, ahonnan az

F_{+}

erőhöz tartozó erőkar

\begin{matrix} k_{+} = \frac{r_{0} D_{1} sin ϑ}{d_{+}} . \end{matrix}

Hasonló formula kapható a másik erőkarra is, így a két tömegpont által kifejtett forgatónyomaték:

\begin{matrix} τ_{\pm} = F_{\pm} k_{\pm} = \frac{G m M_{H} r_{0} D_{1} sin ϑ}{{(D_{1}^{2} + r_{0}^{2} \pm 2 D_{1} r_{0} cos ϑ)}^{\frac{3}{2}}} . \end{matrix}

Egyszerűsítsünk

D_{1}^{3}

-el és alkalmazzuk az

{(1 + ε)}^{a} \approx 1 + ε a

közelítő formulát, mely

ε ≪ 1

esetén érvényes, figyelembe véve, hogy esetünkben

\frac{r_{0}}{D_{1}} ≪ 1

\begin{matrix} τ_{\pm} & = \frac{G m M_{H} r_{0} sin ϑ}{D_{1}^{2}} {(1 + \frac{r_{0}^{2}}{D_{1}^{2}} \pm 2 \frac{r_{0}}{D_{1}} cos ϑ)}^{- \frac{3}{2}} \approx \\ \approx \frac{G m M_{H} r_{0} sin ϑ}{D_{1}^{2}} (1 - \frac{3}{2} \frac{r_{0}^{2}}{D_{1}^{2}} \mp 3 \frac{r_{0}}{D_{1}} cos ϑ) . \end{matrix}

A fenti közelítéssel élve a Holdra ható, keringését gyorsító eredő forgatónyomaték:

\begin{matrix} τ = τ_{-} - τ_{+} \approx \frac{6 G m M_{H} r_{0}^{2} sin ϑ cos ϑ}{D_{1}^{3}} = 4,1 \cdot 10^{16} Nm. \end{matrix}

(3)

3g‐3h. A Föld körül körpályán keringő Hold mozgásegyenlete

\begin{matrix} \frac{G M_{F} M_{H}}{D^{2}} = M_{H} D ω_{H}^{2}, \end{matrix}

ahonnan a Hold szögsebessége

ω_{H} = \sqrt[]{\frac{G M_{F}}{D^{3}}}

. Ennek felhasználásával a Hold impulzusmomentuma a keringési sugárral kifejezve:

\begin{matrix} L_{H} = I_{H} ω_{H} = M_{H} \sqrt[]{D G M_{F}} . \end{matrix}

(4)

Ez az összefüggés fönnáll az impulzusmomentum és a pályasugár jelenlegi

L_{H 1}

és

D_{1}

értéke mellett is, és

Δ t

idővel később is, amikor az impulzusmomentum értéke a

τ

forgatónyomaték hatására

L_{H 1} + τ Δ t

lesz, a Hold pályasugara pedig

D_{1} + Δ D

-re nő. Mivel

\begin{matrix} \sqrt[]{D + Δ D} \approx \sqrt[]{D} + \frac{Δ D}{2 \sqrt[]{D}}, \end{matrix}

azért a (4) összefüggésben a két oldal megváltozására azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} Δ L_{1 M} = τ Δ t = \frac{M_{H}}{2} \sqrt[]{\frac{G M_{F}}{D_{1}}} Δ D . \end{matrix}

Innen

Δ D

-t kifejezve, és

Δ t = 1 év = 3,1 \cdot 10^{7} s

értékkel számolva a Hold jelenlegi éves távolodására azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} Δ D_{1} = \frac{2 τ Δ t}{M_{H}} \sqrt[]{\frac{D_{1}}{G M_{F}}} = 0, 034 m = 3, 4 cm . \end{matrix}

(5)

A (3) formulával megadott

τ

forgatónyomaték csökkenti a Föld impulzusmomentumát,

Δ L_{F} = - τ Δ t = I_{F} Δ ω_{F}

, ahonnan

Δ t = 1

év alatt a jelenlegi szögsebesség-változás:

\begin{matrix} Δ ω_{F 1} = - \frac{τ Δ t}{I_{F}} = - 1, 6 \cdot 10^{- 14} \frac{1}{s} . \end{matrix}

(6)

Mivel a periódusidő

T_{F} = \frac{2 π}{ω}

, a nap hossza egy év alatt

\begin{matrix} Δ T_{F} = 2 π (\frac{1}{ω + Δ ω} - \frac{1}{ω}) \approx - \frac{2 π}{ω^{2}} Δ ω = 1, 9 \cdot 10^{- 5} s \end{matrix}

értékkel nő.

4. Hová lesz az energia?
4a‐4b. Korábban (a 3g. pontban) láttuk, hogy a körpályán keringő Hold szögsebessége

\begin{matrix} ω_{H 1} = \sqrt[]{\frac{G M_{F}}{D_{1}^{3}}} . \end{matrix}

Ezt felhasználva a Föld‐Hold rendszer mechanikai energiája jelenleg:

\begin{matrix} E = \frac{I_{F} ω_{F 1}^{2}}{2} + \frac{I_{H} ω_{H 1}^{2}}{2} - \frac{G M_{F} M_{H}}{D_{1}} = \frac{I_{F} ω_{F 1}^{2}}{2} - \frac{G M_{F} M_{H}}{2 D_{1}} . \end{matrix}

Figyelembe véve, hogy

\begin{matrix} Δ (ω^{2}) = {(ω + Δ ω)}^{2} - ω^{2} \approx 2 ω Δ ω, és Δ (\frac{1}{D}) = \frac{1}{D + Δ D} - \frac{1}{D} \approx - \frac{Δ D}{D^{2}}, \end{matrix}

valamint felhasználva az (5)‐(6) eredményeket, az egy év alatt bekövetkező energiaváltozás:

\begin{matrix} Δ E = I_{F} ω_{F 1} Δ ω_{F 1} + \frac{G M_{F} M_{H}}{2 D_{1}^{2}} Δ D_{1} = - 9, 0 \cdot 10^{19} J. \end{matrix}

(7)

4c‐4d. A Föld teljes felszínét

h = 0, 5

m vastagon beborító vízréteg tömege:

\begin{matrix} M_{víz} = 4 π r_{0}^{2} h ϱ_{víz} = 2, 6 \cdot 10^{17} kg. \end{matrix}

A víz viszkozitása miatt egy év alatt disszipálódott energia:

\begin{matrix} Δ E_{víz} = - g M_{víz} h \cdot 2 \cdot 365 \cdot 0, 1 = - 9, 3 \cdot 10^{19} J, \end{matrix}

ami jól egyezik a (7) egyenletben kapott energiacsökkenéssel.