Feladat: B.4153 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Botos Csongor ,  Csere Kálmán ,  Éles András ,  Frankl Nóra ,  Huszár Kristóf ,  Janosov Milán ,  Kiss Melinda Flóra ,  Kunos Vid ,  Lantos Tamás ,  Lenger Dániel ,  Lovas Lia Izabella ,  Márki Róbert ,  Márkus Bence ,  Mester Márton ,  Perjési Gábor ,  Somogyi Ákos ,  Varga László ,  Weisz Ágoston 
Füzet: 2009/október, 410 - 412. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Magasságpont, Körülírt kör, Koszinusztétel alkalmazása
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/február: B.4153

Az ABC háromszög körülírt körének középpontja O, magasságpontja M. Vegyük föl az E és F pontokat az AC és AB félegyeneseken A-tól AO, illetve AM távolságra. Bizonyítsuk be, hogy ekkor EF=AO.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a háromszög szögeit a szokásos módon α, β és γ-val, a magaságvonalak talppontjait TA, TB és TC-vel, a körülírt kör sugarát pedig R-rel.
Ha α=90, akkor M=A=F és az állítás nyilvánvaló (1. ábra). Ha α nem derékszög, akkor megkülönböztetjük az α<90 (2. ábra) és az α>90 (3. ábra) eseteket. Ez utóbbi esetben az EAF háromszög A-nál lévő szöge tompaszög, ezért a vele szemben lévő EF a háromszög legnagyobb oldala. Azaz EF>AE=AO=R, vagyis ekkor a feladat állítása nem igaz. Ha viszont úgy módosítjuk a feladatot, hogy α>90 esetén az ABC háromszög CA oldalának A-n túli meghosszabbításán vesszük fel azt az E' pontot, melyre AE'=AO=R (3. ábra), akkor erre a pontra teljesül, hogy E'F=AO.

 
 

1. ábra
 

 
 

2. ábra
 

 
 

3. ábra
 

A módosított feladat bizonyítása nagyon hasonló a két esetben, ezért ahol lehet, egyszerre tárgyaljuk a két lehetőséget, de vannak apró eltérések, ezeknél külön-külön kell megvizsgálnunk a hegyes-, illetve a tompaszögű háromszöget.
Az ABC háromszögben az általánosított szinusztétel szerint AB=2Rsinγ. Az ATBB derékszögű háromszög B-nél lévő szöge 90-α, illetve α-90. Ezért
ATB=ABsin(90-α)=2Rsinγcosα,
illetve
ATB=ABsin(α-90)=2Rsinγ(-cosα).

Az ATAC derékszögű háromszög A-nál lévő szöge 90-γ. Ez a szög a hegyesszögű esetben egyúttal az AMTB derékszögű háromszög A-nál lévő szöge is, a tompaszögű esetben pedig MATB és TAAC csúcsszögek. Ezért
AM=ATBcos(90-γ)=2Rsinγ(±cosα)sinγ=±2Rcosα.

Mindkét esetben igaz, hogy AF=AM és AE=AE'=R. Ha α hegyesszög, akkor írjuk fel az AEF háromszög EF oldalára a koszinusztételt:
EF2=AE2+AF2-2AEAFcosα==R2+4R2cos2α-2R(2Rcosα)cosα=R2,
tehát EF=R, ami épp a bizonyítandó állítás.
Ha pedig α tompaszög, akkor az AE'F háromszög A-nál lévő szöge 180-α, ezért ebben a háromszögben a koszinusztétel szerint
E'F2=AE'2+AF2-2AE'AFcos(180-α)==R2+4R2cos2α-2R(-2Rcosα)(-cosα)=R2,
tehát erre a pontra teljesül, hogy E'F=AO.
 
II. megoldás. Csak hegyesszögű háromszög esetén bizonyítjuk az állítást. (Az olvasóra hagyjuk annak meggondolását, hogy az I. megoldásban kimondott, tompaszögű háromszögekre vonatkozó módosított állítást hogyan lehet a következő bizonyítás apró változtatásával belátni.)
Használjuk az I. megoldás jelöléseit, legyen továbbá az ABC háromszög súlypontja S, a BC oldal felezőpontja T, az E pontnak az AB egyenesen lévő merőleges vetülete pedig G. Az ABC háromszög körülírt körében a rövidebbik BC ívhez tartozó kerületi szög α, ezért középponti és a kerületi szögek közti összefüggés alapján BOC=2α. Mivel O a BC szakaszfelező merőlegesén van,
BOT=BOC2=α.
Tehát a BOT és EAG derékszögű háromszögek egybevágóak, mert két-két szögük és az átfogójuk (BO=R=EA) megegyezik. Ezért OT=AG is teljesül (4. ábra).
 
 

4. ábra
 

Tudjuk, hogy az O, S és M pontok az ABC háromszög Euler-egyenesén vannak és 2OS=SM. Az SOT és SMA (AB=AC esetén elfajuló) háromszögek hasonlóak, mert megfelelő oldalaik párhuzamossága (OT és AM merőleges BC-re) miatt a megfelelő szögeik egyenlőek. A hasonlóság aránya OSSM=12 miatt 1:2, tehát
AG=OT=AM2.
Vagyis AG=AF2. Mivel EG merőleges az AB egyenesre, az A pont EG-re vonatkozó tükörképe F. Ebből viszont az is következik, hogy az EA szakasz EG-re vonatkozó tükörképe az EF szakasz.
Tehát EF=EA=OA, ami épp a bizonyítandó állítás.