Kezdőlap


Feladat:	B.4166	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Blázsik Zoltán , Bősze Zsuzsanna , Botos Csongor , Czeller Ildikó , Frankl Nóra , Gyarmati Máté , Hegedűs Csaba , Horváth Roland , Kiss Dóra , Klenk Blanka , Kovács Adrienn , Kovács Gábor , Lantos Tamás , Lenger Dániel , Mészáros András , Németh Balázs , Rácz Zoltán , Somogyi Ákos , Varju Tamás
Füzet:	2009/szeptember, 342. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Beírt kör
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/március: B.4166

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. Ezt felhasználva a $B D$ szakasz hosszát kifejezhetjük a háromszög oldalainak segítségével.

Legyen

D F = D G = D H = x

és

B F = B E = y

. Ekkor

\begin{matrix} A E = A G = A I = c - y \end{matrix}

és

\begin{matrix} C I = C H = b - (c - y) = b - c + y . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} a = B C = B F + F D + D H + H C = y + x + x + b - c + y = 2 (x + y) + b - c . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} x + y = B D = \frac{a + c - b}{2}, \end{matrix}

ahol

a

b

és

c

a háromszög oldalait jelölik a szokásos módon. Az

a

b

c

szakaszok ismeretében megszerkesztjük az

\frac{a + c - b}{2}

szakaszt. Ezt a

B

pontból a

B C

oldalra felmérve kapjuk a keresett

D

pontot.
A háromszög adott, tehát

b < a + c

, ezért mindig megszerkeszthető az

x + y = B D

szakasz.