Feladat: B.4166 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Bősze Zsuzsanna ,  Botos Csongor ,  Czeller Ildikó ,  Frankl Nóra ,  Gyarmati Máté ,  Hegedűs Csaba ,  Horváth Roland ,  Kiss Dóra ,  Klenk Blanka ,  Kovács Adrienn ,  Kovács Gábor ,  Lantos Tamás ,  Lenger Dániel ,  Mészáros András ,  Németh Balázs ,  Rácz Zoltán ,  Somogyi Ákos ,  Varju Tamás 
Füzet: 2009/szeptember, 342. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Beírt kör
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/március: B.4166

Szerkesszünk az ABC háromszög BC oldalán olyan D pontot, amelyre az ABD és az ACD háromszögek beírt körei az AD egyenesen érintik egymást.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. Ezt felhasználva a BD szakasz hosszát kifejezhetjük a háromszög oldalainak segítségével.

 
 

Legyen DF=DG=DH=x és BF=BE=y. Ekkor
AE=AG=AI=c-y
és
CI=CH=b-(c-y)=b-c+y.
Így
a=BC=BF+FD+DH+HC=y+x+x+b-c+y=2(x+y)+b-c.
Ebből
x+y=BD=a+c-b2,
ahol a, b és c a háromszög oldalait jelölik a szokásos módon. Az a, b, c szakaszok ismeretében megszerkesztjük az a+c-b2 szakaszt. Ezt a B pontból a BC oldalra felmérve kapjuk a keresett D pontot.
A háromszög adott, tehát b<a+c, ezért mindig megszerkeszthető az x+y=BD szakasz.