Kezdőlap


Feladat:	B.4165	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Varju Tamás
Füzet:	2009/szeptember, 340 - 342. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Vektorok skaláris szorzata, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/március: B.4165

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A négyszög konvex, ezért $O$ belső pont. Legyen az átlók szöge $α \leq 90^{\circ}$ . Feltehetjük, hogy $A O D ∢ = α$ . Ekkor

\begin{matrix} B O C ∢ = α és A O B ∢ = C O D ∢ = 180^{\circ} - α . \end{matrix}

Mivel

cos (180^{\circ} - α) = - cos α

, a koszinusztételt az

A O B

B O C

C O D

és

D O A

háromszögek

O

-val szemközti oldalára felírva kapjuk, hogy

\begin{matrix} A B^{2} & = A O^{2} + B O^{2} + 2 A O \cdot B O cos α, \\ B C^{2} & = B O^{2} + C O^{2} - 2 B O \cdot C O cos α, \\ C D^{2} & = C O^{2} + D O^{2} + 2 C O \cdot D O cos α, \\ D A^{2} & = D O^{2} + A O^{2} - 2 D O \cdot A O cos α . \end{matrix}

Ezeket összeadva:

\begin{matrix} A B^{2} + B C^{2} + C D^{2} + D A^{2} = \\ = 2 \cdot (A O^{2} + B O^{2} + C O^{2} + D O^{2}) + 2 \cdot (A O - C O) \cdot (B O - D O) cos α . \end{matrix}

Tehát a feladatban szereplő

\begin{matrix} A B^{2} + B C^{2} + C D^{2} + D A^{2} = 2 (A O^{2} + B O^{2} + C O^{2} + D O^{2}) \end{matrix}

összefüggés pontosan akkor teljesül, ha

\begin{matrix} 2 (A O - C O) \cdot (B O - D O) cos α = 0. \end{matrix}

Mivel egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0, azért a feltétel pontosan akkor teljesül, ha

A O - C O

B O - D O

és

cos α

közül legalább az egyik 0. Vagyis ha

O

felezi valamelyik átlót, vagy pedig az átlók merőlegesek egymásra. Ez éppen a bizonyítandó állítás.

II. megoldás. Az

O

pontból a négyszög csúcsaiba mutató vektorokat jelölje rendre

a

b

c

és

d

. A vektorok skaláris szorzatának tulajdonságait használva ekkor a feladatban szereplő

\begin{matrix} A B^{2} + B C^{2} + C D^{2} + D A^{2} = 2 (A O^{2} + B O^{2} + C O^{2} + D O^{2}) \end{matrix}

összefüggés

\begin{matrix} {(b - a)}^{2} + {{(c - b)}^{2} + (d - c)}^{2} + {(a - d)}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) \end{matrix}

alakba írható. Ezt átrendezve kapjuk, hogy

ab + bc + cd + da = 0

, ami ekvivalens az

\begin{matrix} (a + c) (b + d) = 0 \end{matrix}

összefüggéssel.
Ez pontosan akkor teljesül, ha vagy

a + c = 0

, vagyis

c = - a

, tehát

O

A C

átló felezőpontja; vagy

b + d = 0

, tehát

O

B D

átló felezőpontja; vagy pedig az

A C

átlóval párhuzamos

a + c \neq 0

vektor merőleges a

B D

átlóval párhuzamos

b + d \neq 0

vektorra, azaz ha a négyszög átlói merőlegesek egymásra. Ezzel a feladat állítását beláttuk.

Megjegyzés. A II. megoldás lényegében ugyanaz, mint az I., mert az ott használt

A B^{2} = {(b - a)}^{2}

típusú összefüggések nem mások, mint a megfelelő háromszögekre vonatkozó koszinusztételek vektoros alakjai. Ebből a megoldásból viszont az is látszik, hogy a feladat állítása nem csak konvex négyszögre igaz.