Feladat: B.4093 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kovács Gábor 
Füzet: 2009/szeptember, 330 - 331. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sokszög lefedések, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/május: B.4093

Bizonyítsuk be, hogy n6 esetén minden háromszög felbontható n darab egyenlőszárú háromszögre.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Bármely derékszögű háromszög körülírható körének középpontja az átfogó felezőpontja, ezért ha a háromszög derékszögű csúcsát összekötjük az átfogó felezőpontjával, akkor a háromszög két egyenlőszárú háromszögre bomlik. Minden háromszögre teljesül, hogy a leghosszabb oldalhoz tartozó magasságvonal talppontja az oldal belső pontja, ezért a magasságvonal a háromszöget két derékszögű háromszögre bontja. Tehát tetszőleges háromszög felbontható 4 darab egyenlőszárú háromszögre (1. ábra).

 

 
1. ábra
 

Gondolatmenetünkből az is következik, hogy ha egy háromszög felbontható n darab egyenlőszárú háromszögre, akkor ezek közül az egyiket négy részre osztva az eredeti háromszögnek n+3 darab egyenlőszárú háromszögre történő felbontását kapjuk. Ezért elegendő az állítást az n=6,7,8 esetekre bizonyítani.
Ezek közül az n=7 eset rögtön visszavezethető az imént igazolt n=4 esetre, hiszen 7=4+3. Az n=6 háromszögre bontást pl. úgy végezhetjük, hogy először berajzoljuk a leghosszabb oldalhoz tartozó magasságot, majd a keletkezett két derékszögű háromszög közül az egyiknek az átfogóhoz tartozó magasságát. Az így kapott három derékszögű háromszög mindegyikét két-két egyenlőszárú háromszögre bontva adódik az eredeti háromszög felbontása 6 darab egyenlőszárú háromszögre (2. ábra). Ha n=8, akkor a legegyszerűbb a háromszöget először tetszés szerint két háromszögre bontani, majd azok mindegyikét tovább bontani 4 egyenlőszárú háromszögre (3. ábra).
 

 
2. ábra
 

 

 
3. ábra
 

Megjegyzés. A felbontások persze nagyon sokféleképpen elvégezhetők. Az n=6 esetben talán akkor kapjuk a legegyszerűbb felbontást, ha a beírt kör érintési pontjait összekötjük egymással és a beírt kör középpontjával (4. ábra).
 

 
4. ábra