A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 3. ábra Mivel tetszőleges Desargues-féle háromszögpár meghatároz egy centrálaxonometrikus leképezést, tekinthetjük az adott háromszög csúcsait egy centrálaxonometrikus leképezésben a végtelen távoli pontok képeinek, az háromszög csúcsait pedig az egységpontok képeinek. Ekkor az origó képe. Legyen az tengely, az tengely, pedig a tengely képe. Ebben az esetben az háromszög beírt köre az sík egy parabolájának centrálaxonometrikus képe, ugyanis a beírt kör térbeli ősképe olyan kúpszelet, amely érinti az sík végtelen távoli egyenesét. Ez a parabola az és tengelyeket egyaránt a tengelyek egységpontjaiban érinti, így tengelye az és tengelyek szögfelezője. Ez szimmetria okokból látható, illetve projektív geometriai eszközökkel a Pascal-tétel segítségével igazolható. (Ezen adatokból a tengely meghatározásának általános módszerét illetően lásd pl. [8].) Tehát az síkban az -tengellyel -os szöget bezáró egyenesek végtelen távoli pontjának képe. Hasonlóan látható, hogy az síkban az -tengellyel -os szöget bezáró, az síkban a -tengellyel -os szöget bezáró egyenesek végtelen távoli pontjának képe. A 4., 5. és 6. ábrákon a térbeli őskép egyes koordinátasíkjait szemléltettük (lásd még: első borító).
4. ábra
5. ábra
6. ábra Tehát a egyenes az síkban a tengely egységpontjára illeszkedő, azzal -os szöget bezáró egyenes képe, a egyenes az síkban az tengely egységponjára illeszkedő, azzal -os szöget bezáró egyenes képe. Mindkét egyenes áthalad az tengely koordinátájú pontján, így ennek a pontnak a centrálaxonometrikus képe (következésképpen illeszkedik az egyenesre), mivel a centrálaxonometria egyenestartó leképezés. A egyenes ezért az tengely koordinátájú pontján át az tengellyel húzott párhuzamos egyenes centrálaxonometrikus képe. Hasonlóan, az sík tengelyének egységpontján áthaladó, a tengellyel -ot bezáró egyenes képe, az sík tengelyének egységpontjára illeszkedő, az tengellyel -ot bezáró egyenes képe. Így e két egyenes metszéspontja az tengely koordinátájú pontjának centrálaxonometrikus képe (tehát illeszkedik a egyenesre). Az egyenes ekkor az -tengely koordinátájú pontján keresztül az tengellyel húzott párhuzamos egyenes képe. A fentiek alapján a és egyenesek metszéspontja a koordinátájú pont centrálaxonometrikus képe. A egyenes az centrálaxonometrikus képe. A egyenes az síkban a koordinátatengelyek szögfelező egyenesének képe, és mivel a szögfelező egyenesre a pont valóban illeszkedik, ezzel a centrálaxonometria egyenestartása alapján beláttuk a feladat állítását. |
|