Feladat:	A.456	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2009/május, 271 - 272. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Beírt kör, Körérintők, Projektív geometria, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/május: A.456

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   3. ábra   Mivel tetszőleges Desargues-féle háromszögpár meghatároz egy centrálaxonometrikus leképezést, tekinthetjük az adott $ABC$ háromszög csúcsait egy centrálaxonometrikus leképezésben a végtelen távoli pontok képeinek, az $A_2{B}_2{C}_2$ háromszög csúcsait pedig az egységpontok képeinek. Ekkor $D$ az origó képe. Legyen $DA$ az $x$ tengely, $DB$ az $y$ tengely, $DC$ pedig a $z$ tengely képe. Ebben az esetben az $ABD$ háromszög beírt köre az $xy$ sík egy parabolájának centrálaxonometrikus képe, ugyanis a beírt kör térbeli ősképe olyan kúpszelet, amely érinti az $xy$ sík végtelen távoli egyenesét. Ez a parabola az $x$ és $y$ tengelyeket egyaránt a tengelyek egységpontjaiban érinti, így tengelye az $x$ és $y$ tengelyek szögfelezője. Ez szimmetria okokból látható, illetve projektív geometriai eszközökkel a Pascal-tétel segítségével igazolható. (Ezen adatokból a tengely meghatározásának általános módszerét illetően lásd pl. [8].) Tehát $C_1$ az $xy$ síkban az $y$-tengellyel ${45}^{\circ }$-os szöget bezáró egyenesek végtelen távoli pontjának képe. Hasonlóan látható, hogy $A_1$ az $yz$ síkban az $y$-tengellyel ${45}^{\circ }$-os szöget bezáró, $B_1$ az $xz$ síkban a $z$-tengellyel ${45}^{\circ }$-os szöget bezáró egyenesek végtelen távoli pontjának képe. A 4., 5. és 6. ábrákon a térbeli őskép egyes koordinátasíkjait szemléltettük (lásd még: első borító).     4. ábra       5. ábra       6. ábra   Tehát a $B_1{C}_2$ egyenes az $xz$ síkban a $z$ tengely egységpontjára illeszkedő, azzal ${45}^{\circ }$-os szöget bezáró egyenes képe, a $B_2{C}_1$ egyenes az $xy$ síkban az $y$ tengely egységponjára illeszkedő, azzal ${45}^{\circ }$-os szöget bezáró egyenes képe. Mindkét egyenes áthalad az $x$ tengely $-1$ koordinátájú pontján, így $E$ ennek a pontnak a centrálaxonometrikus képe (következésképpen illeszkedik az $AO$ egyenesre), mivel a centrálaxonometria egyenestartó leképezés. A $BE$ egyenes ezért az $x$ tengely $-1$ koordinátájú pontján át az $y$ tengellyel húzott párhuzamos egyenes centrálaxonometrikus képe. Hasonlóan, $A_1{C}_2$ az $yz$ sík $z$ tengelyének egységpontján áthaladó, a $z$ tengellyel ${45}^{\circ }$-ot bezáró egyenes képe, $A_2{C}_1$ az $xy$ sík $x$ tengelyének egységpontjára illeszkedő, az $x$ tengellyel ${45}^{\circ }$-ot bezáró egyenes képe. Így e két egyenes $F$ metszéspontja az $y$ tengely $-1$ koordinátájú pontjának centrálaxonometrikus képe (tehát $F$ illeszkedik a $B{B}_2$ egyenesre). Az $AF$ egyenes ekkor az $y$-tengely $-1$ koordinátájú pontján keresztül az $x$ tengellyel húzott párhuzamos egyenes képe. A fentiek alapján a $BE$ és $AF$ egyenesek metszéspontja a $\left(-\mathrm{1,}-\mathrm{1,0}\right)$ koordinátájú pont centrálaxonometrikus képe. A $C_{1}D$ egyenes az $xy$ centrálaxonometrikus képe. A $C_{1}D$ egyenes az $xy$ síkban a koordinátatengelyek szögfelező egyenesének képe, és mivel a szögfelező egyenesre a $\left(-\mathrm{1,}-\mathrm{1,0}\right)$ pont valóban illeszkedik, ezzel a centrálaxonometria egyenestartása alapján beláttuk a feladat állítását.