Kezdőlap


Feladat:	4083. fizika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Varga Ádám
Füzet:	2009/május, 299 - 300. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, beta-sugárzás, Régészettel kapcsolatos feladatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/május: 4083. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A radiokarbonos kormeghatározás során a minta aktivitásából, illetve a széntartalmának mennyiségéből meghatározzák, hogy a benne lévő szénatomok hány százaléka a sugárzó $^{14} C$ izotóp. Tudjuk, hogy amíg az élő szervezet anyagcseréje működik, a $^{14} C$ izotóp aránya megegyezik a légkörben levő szén izotópösszetételének megfelelő aránnyal. (Ezt az arányt ‐ jóllehet a légkörben is bomlanak a 14-es szénizotópok ‐ a kozmikus sugárzásban folyamatosan ,,újratermelődő'' $^{14} C$ atommagok állandó szinten tartják.) Az élőlény elpusztulása után leáll az anyagcsere, megszűnik a $^{14} C$ bevitel, s a radioaktív bomlások következtében a 14-es szénizotópok száma $T = 5730$ éves felezési idővel csökkenni kezd. A csökkenés mértékéből (a felezési idő ismeretében) ki lehet számítani az anyagcsere leállása óta eltelt időt.
Ha a mintába geológiai korú (nagyon régi, tehát 14-es szénizotópot számottevő mennyiségben már nem tartalmazó) szén kerül, a fa egészében csökken a $^{14} C$ izotóp aránya. A szennyeződésről nem tudó fizikus a radioaktív szén kisebb arányából arra következtet, hogy a minta idősebb, mint valójában. Ez a tévedés a mérés kiértékelésének ún. szisztematikus hibájából származik.
Legyen a mintában összesen $N$ szénatom! A szennyeződésből származó geológiai szén atomjainak száma $0, 3 N$ , a többi (biológiainak nevezhető) szén mennyisége pedig $0, 7 N$ . Ha a légkörben a radioaktív szénizotópok száma az összes szénatom $x$ -szerese, akkor az

\begin{matrix} N (t) = N (0) \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}} \end{matrix}

bomlási törvénynek megfelelően a

t_{0} = 1400

éves mintában már csak

\begin{matrix} N_{1} = x \cdot 0, 7 \cdot N \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t_{0}}{T}} \end{matrix}

^{14} C

izotóp lesz. A mérést végző fizikus azt tételezi fel, hogy eredetileg (az anyagcsere leállásakor)

x \cdot N

darab radioaktív izotópmag volt a mintában, és ez a szám

t_{1}

idő alatt csökkent a ma mérhető

N_{1}

értékre. A kiértékelés során az

\begin{matrix} N_{1} = x \cdot N \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t_{1}}{T}} \end{matrix}

egyenletet használja, amit

\begin{matrix} {(\frac{1}{2})}^{\frac{t_{1} - t_{0}}{T}} = 0, 7 \end{matrix}

alakra hozhat. Ebből (mindkét oldal logaritmusát képezve)

t_{1}

kifejezhető:

\begin{matrix} \frac{t_{1} - t_{0}}{T} \cdot log 0, 5 & = log 0, 7; \\ t_{1} = t_{0} + 0, 51 T & \approx 4300 év . \end{matrix}

Ennyi idősnek véli a mintát a fizikus, aki nem tud a geológiai szénnel történt szennyeződésről.
(Érdekes, hogy az

x

arányszám tényleges számértékére nem volt szükségünk a szisztematikus hiba nagyságának kiszámolásánál.)