Kezdőlap


Feladat:	B.4095	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Énekes Péter , Orosz Ákos , Szalkai Balázs
Füzet:	2009/május, 287 - 290. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglatest, Műveletek helyvektorok koordinátáival, Rácsgeometria, Teljes indukció módszere, Részhalmazok, Sorozatok monotonitása, korlátossága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/május: B.4095

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Minden téglatestet azonosítsunk az $(x; y; z)$ számhármassal, ahol $x$ , $y$ és $z$ a test megfelelő irányú méretei.
Az $(a; b; c)$ tartalmazza $(d; e; f)$ -et, ha $a \geq d$ , $b \geq e$ és $c \geq f$ (ha mindhárom helyen egyenlőség áll, akkor a két téglatest megegyezik, a tartalmazás ebben az esetben is fennáll). Válasszunk ki a halmazból egy tetszőleges téglatestet, $(a; b; c)$ -t. Tegyük fel, hogy nincs olyan téglatest, amely ezt tartalmazná. Ez azt jelenti, hogy $(a; b; c)$ -n kívül minden téglatest az alábbi három halmaz valamelyikének (akár több halmaznak is) eleme:

\begin{matrix} A : {(x; y; z) ∣ x < a}; \\ B : {(x; y; z) ∣ y < b}; \\ C : {(x; y; z) ∣ z < c} . \end{matrix}

Mivel

| A \cup B \cup C | = \infty

, a három halmaz valamelyikének számossága végtelen. Legyen ez a halmaz pl.

A

. Ekkor van végtelen sok téglatestünk, amelyekre

x \in {0,1, ..., a - 1}

. Tehát van olyan

x_{0} \in {0,1, ..., a - 1}

szám, amelyre végtelen sok téglatest esetén

x = x_{0}

. Vagyis van végtelen sok téglatestünk ugyanazzal az

x

koordinátával. Ezzel a feladatot visszavezettük 2 dimenzióra.
Azonosítsuk a fenti téglalapok mindegyikét az

(y; z)

számpárral, ahol

y

és

z

a téglalap megfelelő irányú méretei. Válasszunk ki egy

(b; c)

téglalapot. Ha ezt semelyik másik nem tartalmazza, akkor

(b; c)

-n kívül a többi téglalapot két halmazba (egyet akár többe is) tudjuk sorolni:

\begin{matrix} A : {(y; z) ∣ y < b}; \\ B : {(y; z) ∣ z < c} . \end{matrix}

Vagy az

A

, vagy a

B

halmaz végtelen számosságú; legyen mondjuk az

A

halmaz. Ekkor végtelen sok olyan téglalap van, amelyre

y \in {0,1, ..., b - 1}

, így valamely

y_{0} \in {0,1, ..., b - 1}

számra végtelen sok téglalap jut. Tehát, visszatérve a térbe, van végtelen sok téglatest, amelynek első két koordinátája megegyezik. Válasszunk ki közülük kettőt. Ezek közül az egyiknek a harmadik koordinátája nagyobb, vagy ugyanakkora, mint a másiké, tehát tartalmazza azt.
Beláttuk, hogy mindig van két téglatest úgy, hogy az egyik tartalmazza a másikat.

II. megoldás. Bizonyítsunk teljes indukcióval: a dimenziók számát növeljük az indukció során. Egy dimenzióban, vagyis

n = 1

-re igaz az állítás: Tetszőlegesen kiválasztunk két szakaszt, az egyiknek az origótól különböző csúcspontja messzebb van az origótól, mint a másiknak, így tartalmazza azt. Tegyük fel, hogy az állítás igaz

n = k

-ra, és bizonyítsuk be

n = k + 1

dimenzióra. A koordináta-tengelyeket jelölje

z_{1}; z_{2}; ...; z_{k + 1}

. Tekintsünk két

k + 1

dimenziós téglatestet, melyek origóval szemközti csúcsának koordinátái legyenek

\begin{matrix} (a_{1}; a_{2}; ...; a_{k + 1}) és (b_{1}; b_{2}; ...; b_{k + 1}) . \end{matrix}

Ha az előbbi tartalmazza az utóbbit, akkor

\begin{matrix} a_{1} \geq b_{1}; a_{2} \geq b_{2}; ...; a_{k + 1} \geq b_{k + 1} . \end{matrix}

Válasszunk ki egy tetszőleges

X

téglatestet, origóval szemközti csúcsának koordinátái legyenek

X (x_{1}; x_{2}; ...; x_{k + 1})

. Megmutatjuk, hogy csak véges sok olyan

Y (y_{1}; y_{2}; ...; y_{k + 1})

téglatest létezhet, amelyek egyike sem tartalmazza

X

-et, sem valamelyik másik

Y

téglatestet. Ha

Y

nem tartalmazza

X

-et, akkor valamely

i

-re

y_{i} < x_{i}

.
Ha

y_{1} < x_{1}

, akkor

y_{1}

értéke (

x_{1} - 1

)-féle lehet. Vegyük ekkor

y_{1}

minden értékére az összes olyan téglatestet, melynek első koordinátája

y_{1}

. Ezek origóval szemközti csúcsai a

z_{1} = y_{1}

egyenletű

k

dimenziós térben vannak, vagyis ha egy ilyen tulajdonságú téglatest tartalmaz egy másikat, akkor ez a testek erre a

k

dimenziós térre vett merőleges vetületére is igaz. Az indukciós feltétel szerint azonban ha ebben a térben van végtelen sok ilyen tulajdonságú téglatest, akkor azok közül az egyik tartalmaz egy másikat. Ha ezt el akarjuk kerülni, akkor csak véges sok olyan téglatest lehet (

k + 1

dimenziós), amelyik első koordinátája az adott

y_{1}

érték, és ez minden

y_{1}

-re igaz.
Ugyanezt a gondolatmenetet alkalmazzuk minden

y_{i}

-re, és mivel minden

y_{i}

és

i

is véges sok értéket vehet csak fel, eddig csak véges sok téglatest létezhet úgy, hogy egyik se tartalmazzon egy másikat. Azonban végtelen sok téglatestünk van, ezért vagy az előzőek közül tartalmaz valamelyik egy másikat, vagy van olyan, amelyre

y_{1} \geq x_{1}

;

y_{2} \geq x_{2}

;

...

;

y_{k + 1} \geq x_{k + 1}

, vagyis amelyik tartalmazza

X

-et. Az állítás tehát tetszőleges

n

dimenzióban igaz, így 3 dimenzióban is.

III. megoldás. A megoldáshoz használjuk fel a következő segédtételt: Ha az

{a_{n}}

végtelen sorozat elemei pozitív egész számok, akkor az

{a_{n}}

sorozat elemeiből kiválasztható egy (végtelen sok elemű) monoton növő részsorozat. Ennek a bizonyítása a következő: Indirekt módon tegyük fel, hogy csak egy véges sok elemből álló, tovább nem bővíthető monoton növő részsorozatot tudtunk kiválasztani; ennek az utolsó eleme legyen

a_{m}

. Ez azt jelenti, hogy a sorozat

m

-nél magasabb indexű elemei mind kisebbek, mint

a_{m}

. Mivel

a_{m}

-nél kisebb egész szám csak véges sok van, lennie kell legalább egy olyan

a_{m}

-nél kisebb számnak, amiből végtelen sok van az

a_{m}

utáni elemek között. Viszont ez a végtelen sok egyenlő szám egy monoton növekvő részsorozatát adja

{a_{n}}

-nek. Így ellentmondásra jutottunk, tehát biztosan kiválasztható végtelen elemszámú monoton növő részsorozat.
A téglatesteket továbbra is az origóval átellenes csúcsuk koordinátáival, az

(x; y; z)

számhármassal jellemezzük. Egy

(x_{1}; y_{1}; z_{1})

téglatest pontosan akkor tartalmazza az

(x_{2}; y_{2}; z_{2})

téglatestet, ha a koordinátáikra igaz, hogy

x_{1} \geq x_{2}

y_{1} \geq y_{2}

z_{1} \geq z_{2}

.
Állítsuk sorba a téglatesteket úgy, hogy az

x

koordinátájuk növekvő sorozatot alkosson. Ekkor a téglatestek

y

koordinátájának sorozata egy pozitív egész számokból álló sorozat. A segédtétel szerint ki lehet választani az

y

koordináták közül egy monoton növő végtelen részsorozatot. Ennek a részsorozatnak az elemeihez tartozó téglatestek

z

koordinátája ugyancsak pozitív egész számokból álló sorozat, tehát ebből is ki lehet választani egy monoton növő végtelen sorozatot. Ezért ezekhez a koordinátákhoz tartozó téglalapokra igaz, hogy az

x

, az

y

és a

z

koordinátájuk sorozata is monoton növő sorozatot alkot, ezért minden magasabb indexű téglatest tartalmazza az alacsonyabb indexűt. Tehát a feladat állításánál többet is bizonyítottunk: Végtelen sok olyan téglatest van, hogy ebből bármelyik kettő közül az egyik tartalmazza a másikat.