Feladat: B.4126 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ambrits Dániel ,  Cséke Balázs 
Füzet: 2009/április, 226 - 227. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pont körre vonatkozó hatványa, Hasonlósági transzformációk, Síkgeometriai bizonyítások, Kör geometriája, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/november: B.4126

Egy kör AB húrjának végpontjaiból bocsássunk merőlegeseket a kör egy A-tól és B-től különböző P pontjában húzott érintőjére, illetve bocsássunk merőlegest P-ből az AB húrra. Bizonyítsuk be, hogy a húrra bocsátott merőleges az érintőre bocsátott merőlegesek mértani közepe.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje az A-ból, P-ből, illetve B-ből állított merőleges talppontját rendre T1, T2 és T3.
I. eset: Az érintő párhuzamos az AB húrral (1. ábra). Ekkor a BT3T1A négyszög téglalap, melynek PT2 középvonala, és AT1=T2P=BT3. Nyilván T2P2=AT1BT3, azaz T2P=AT1BT3.

 

 
1. ábra
 

II. eset: Az érintő nem párhuzamos AB-vel (2. ábra). Jelölje az AB egyenes és az érintő metszéspontját M. Ekkor MAT1MPT2MBT3, hiszen mindhárom derékszögű és az M-nél levő szögük is megegyezik. A hasonlóság miatt:
MAAT1=MPPT2ésMBBT3=MPPT2.
A két egyenletet összeszorozva kapjuk, hogy:
MAMBAT1BT3=MP2PT22.
Tudjuk, hogy MAMB=MP2, hiszen mindkettő az M pontnak az adott körre vonatkozó hatványa. Ebből pedig AT1BT3=PT22, majd AT1BT3=PT2 következik, és ezt akartuk bizonyítani.
 

 
2. ábra
 

 
II. megoldás. A 3. ábrán látható jelölésekkel az az állítás, hogy PP'=AA'BB'.
 

 
3. ábra
 

A'AP'=B'PP'=α, mivel merőleges szárú szögek. PAP'=B'PB=β, mivel mindkettő a PB ívhez tartozó kerületi szög.
Több hasonló háromszöget is kaptunk. AA'PPP'B, mivel mindkettőnek van egy 90-os és egy (α-β) nagyságú szöge. Felírva a megfelelő oldalak arányát:
AA'PP'=APPB.

APP'PBB', mivel mindkettőnek van egy 90-os és egy β nagyságú szöge. Felírva a megfelelő oldalak arányát:
PP'BB'=APPB.

A két arányból látható, hogy
PP'BB'=AA'PP',azaz(PP')2=AA'BB',PP'=AA'BB'.