|
Feladat: |
B.4069 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: könnyű |
Megoldó(k): |
Bencs Ferenc , Bodor Bertalan , Dinh Hoangthanh Attila , Dinh Van Anh , Éles András , Fonyó Dávid , Gévay Gábor , Grósz Dániel , Horváth Vanda , Keresztfalvi Tibor , Kiss Réka , Lovas Lia Izabella , Márkus Bence , Nagy Donát , Perjési Gábor , Szabó Dávid , Tossenberger Anna , Tubak Dániel , Varga László |
Füzet: |
2009/április,
216 - 217. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Síkgeometriai bizonyítások, Pont körre vonatkozó hatványa, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2008/február: B.4069 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Ha a -ben érinti -t, akkor , amiből a feltétel szerint következik. Ez viszont azt jelenti, hogy is -ben érinti -t, azaz is és is rajta van -beli érintőegyenesén. A feltételek szerint viszont és nem kollineárisak, tehát az egyenes nem lehet a -beli érintő. Ugyanígy kapjuk, hogy sem lehet a -beli érintő. Ezért az és egyenesek még egy-egy, -től is és egymástól is különböző , illetve pontban metszik -t (lásd az ábrákat).
1. ábra
2. ábra Ekkor a pont körre vonatkozó hatványáról szóló tétel (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye I., 1323. feladat) szerint és . Ezeket elosztva egymással kapjuk, hogy a feladat feltételeiből pedig következik, ezért | |
Legyen . Ekkor . Ha , akkor az , pedig a szakasz belső pontja, tehát | | (1. ábra). Ha , akkor az és a szakasznak is belső pontja, ezért és (2. ábra). Vagyis mindkét esetben igaz, hogy , és az első esetben és a , illetve szakaszok belső pontjai, a másodikban pedig a , illetve szakasznak is belső pontja. Ezért az a középpontos hasonlóság, melynek centruma , aránya pedig az első esetben , a másodikban pedig , az -t -be, -t pedig -be viszi. Középpontos hasonlóságnál kör képe kör, ezért az , és pontokra illeszkedő kör képe a hasonlóságoknál mindkét esetben lesz. Viszont tetszőleges, az identitástól különböző középpontos hasonlóság esetén igaz, hogy a hasonlóság centrumán átmenő kör és annak képe egymást a centrumban érinti, mert nyilvánvalóan a centrum az egyetlen közös pontjuk. Ezért a -ben érinti -t, ami épp a bizonyítandó állítás. |
|