Feladat: B.4069 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bencs Ferenc ,  Bodor Bertalan ,  Dinh Hoangthanh Attila ,  Dinh Van Anh ,  Éles András ,  Fonyó Dávid ,  Gévay Gábor ,  Grósz Dániel ,  Horváth Vanda ,  Keresztfalvi Tibor ,  Kiss Réka ,  Lovas Lia Izabella ,  Márkus Bence ,  Nagy Donát ,  Perjési Gábor ,  Szabó Dávid ,  Tossenberger Anna ,  Tubak Dániel ,  Varga László 
Füzet: 2009/április, 216 - 217. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Pont körre vonatkozó hatványa, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/február: B.4069

Az A és B pontokból, rendre a és b hosszú érintők húzhatók a k körhöz. A kör egy T pontjára teljesül, hogy az A, B, T pontok nem esnek egy egyenesre és
ATa=BTb.
Bizonyítsuk be, hogy az A, B, T pontokra illeszkedő kör érinti k-t.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha AT a T-ben érinti k-t, akkor AT=a, amiből a feltétel szerint BT=b következik. Ez viszont azt jelenti, hogy BT is T-ben érinti k-t, azaz A is és B is rajta van k T-beli érintőegyenesén. A feltételek szerint viszont A,B és T nem kollineárisak, tehát az AT egyenes nem lehet a T-beli érintő. Ugyanígy kapjuk, hogy BT sem lehet a T-beli érintő. Ezért az AT és BT egyenesek még egy-egy, T-től is és egymástól is különböző C, illetve D pontban metszik k-t (lásd az ábrákat).

 

 
1. ábra
 

 

 
2. ábra
 

Ekkor a pont körre vonatkozó hatványáról szóló tétel (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye I., 1323. feladat) szerint ATAC=a2 és BTBD=b2. Ezeket elosztva egymással kapjuk, hogy
ATACBTBD=a2b2,
a feladat feltételeiből pedig
ATBT=ab,azazAT2BT2=a2b2
következik, ezért
ATACBTBD=AT2BT2,tehátACAT=BDBT.

Legyen ACAT=BDBT=λ. Ekkor λ1. Ha λ<1, akkor C az AT, D pedig a BT szakasz belső pontja, tehát
TC=AT-AC=(1-λ)ATésTD=BT-BD=(1-λ)BT
(1. ábra). Ha λ>1, akkor T az AC és a BD szakasznak is belső pontja, ezért TC=AC-AT=(λ-1)AT és TD=BD-BT=(λ-1)BT (2. ábra).
Vagyis mindkét esetben igaz, hogy TCTA=TDTB, és az első esetben C és D a TA, illetve TB szakaszok belső pontjai, a másodikban pedig T a CA, illetve DB szakasznak is belső pontja. Ezért az a középpontos hasonlóság, melynek centruma T, aránya pedig az első esetben TCTA=1-λ, a másodikban pedig -TCTA=-(λ-1)=1-λ, az A-t C-be, B-t pedig D-be viszi. Középpontos hasonlóságnál kör képe kör, ezért az A, B és T pontokra illeszkedő kör képe a hasonlóságoknál mindkét esetben k lesz.
Viszont tetszőleges, az identitástól különböző középpontos hasonlóság esetén igaz, hogy a hasonlóság centrumán átmenő kör és annak képe egymást a centrumban érinti, mert nyilvánvalóan a centrum az egyetlen közös pontjuk. Ezért a T-ben érinti k-t, ami épp a bizonyítandó állítás.