Kezdőlap


Feladat:	4089. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Benyó Krisztián
Füzet:	2009/március, 185 - 186. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gyűjtőlencse, Fénytörés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/szeptember: 4089. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tekintsük az 1 dioptriás, vagyis 1 m fókusztávolságú lencsének az ábrán látható helyzetét! A lámpából jövő fény a lencsén eltérülve a $P$ pontban, a vízfelszín alatt bizonyos $x'$ mélységben alkotna képet. A fénysugarak azonban a víz felszínénél megtörnek, és nem a $P$ , hanem a medence alján levő $Q$ pontban találkoznak.
Az ábra jelöléseit használva fennáll, hogy

\begin{matrix} tg α = \frac{y}{x'} és tg β = \frac{y}{x}, \end{matrix}

továbbá a törési törvény szerint

\begin{matrix} \frac{sin α}{sin β} = n \end{matrix}

(

n \approx 4 / 3

a víz törésmutatója).

Mivel kicsiny szögek szinusza és tangense jó közelítéssel megegyezik, a fenti egyenletekből

\begin{matrix} x' = \frac{tg β}{tg α} \cdot x \approx \frac{sin β}{sin α} \cdot x = \frac{x}{n} = \frac{2 m}{4 / 3} = 1, 5 m \end{matrix}

adódik.
Ha a lencse a kérdéses helyzetben

h

magasan van a víz felszíne felett, akkor a tőle

t = 3 m - h

tárgytávolságú lámpáról

k = h + 1, 5

m képtávolságnál alkot valódi képet. Alkalmazva a lencsetörvényt, méter egységekben számolva az

\begin{matrix} \frac{1}{3 - h} + \frac{1}{h + 1, 5} = 1 \end{matrix}

egyenletet írhatjuk fel. Ez átrendezéssel

\begin{matrix} h (h - 1, 5) = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenletté alakítható, melynek gyökei:

h_{1} = 0

, illetve

h_{2} = 1, 5

m.
A lencse tehát két esetben is éles képet hoz létre a lámpáról a medence fenekén: amikor a lencse éppen a víz felszínénél helyezkedik el, illetve akkor, amikor a lámpa és a vízfelszín között félúton található. Belátható (pl. a lencse közepén áthaladó fénysugár menetéből), hogy az első esetben az izzó képe kicsinyített, a második esetben pedig nagyított lesz. A feladat valamennyi kikötésének tehát csak a víz felszíne felett 1,5 m magasan levő lencse tesz eleget.