Feladat: 4089. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Benyó Krisztián 
Füzet: 2009/március, 185 - 186. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Gyűjtőlencse, Fénytörés
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/szeptember: 4089. fizika feladat

Egy úszómedence vize 2 m mély. A víz felszínétől mérve 3 m magasságban világít egy izzólámpa. Függőlegesen alatta föl-le mozgatunk egy kis átmérőjű, 1 dioptriás lencsét. Milyen távol van a lencse a víz felszínétől, amikor a medence alján megjelenik az izzó nagyított képe?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tekintsük az 1 dioptriás, vagyis 1 m fókusztávolságú lencsének az ábrán látható helyzetét! A lámpából jövő fény a lencsén eltérülve a P pontban, a vízfelszín alatt bizonyos x' mélységben alkotna képet. A fénysugarak azonban a víz felszínénél megtörnek, és nem a P, hanem a medence alján levő Q pontban találkoznak.
Az ábra jelöléseit használva fennáll, hogy

tgα=yx'éstgβ=yx,
továbbá a törési törvény szerint
sinαsinβ=n
(n4/3 a víz törésmutatója).
 
 

Mivel kicsiny szögek szinusza és tangense jó közelítéssel megegyezik, a fenti egyenletekből
x'=tgβtgαxsinβsinαx=xn=2m4/3=1,5m  
adódik.
Ha a lencse a kérdéses helyzetben h magasan van a víz felszíne felett, akkor a tőle t=3m-h tárgytávolságú lámpáról k=h+1,5 m képtávolságnál alkot valódi képet. Alkalmazva a lencsetörvényt, méter egységekben számolva az
13-h+1h+1,5=1
egyenletet írhatjuk fel. Ez átrendezéssel
h(h-1,5)=0
másodfokú egyenletté alakítható, melynek gyökei: h1=0, illetve h2=1,5 m.
A lencse tehát két esetben is éles képet hoz létre a lámpáról a medence fenekén: amikor a lencse éppen a víz felszínénél helyezkedik el, illetve akkor, amikor a lámpa és a vízfelszín között félúton található. Belátható (pl. a lencse közepén áthaladó fénysugár menetéből), hogy az első esetben az izzó képe kicsinyített, a második esetben pedig nagyított lesz. A feladat valamennyi kikötésének tehát csak a víz felszíne felett 1,5 m magasan levő lencse tesz eleget.