Kezdőlap


Feladat:	B.4112	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zelana Réka
Füzet:	2009/március, 160 - 161. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Téglalapok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/október: B.4112

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A biliárdasztalt szemléltető $A B C D$ téglalapot többször egymásután tükrözzük, mindig arra az oldalára, ahol az ütközés történik. Mivel az ütközésnél a beesés és a visszaverődés szöge egyenlő, így a golyó útja kiegyenesíthető (1. ábra). Legyen az $A B C D$ téglalap $A D$ oldala 2 $a$ , $A B$ oldala 2 $b$ hosszú. Ekkor az $A T K_{3}$ egyenlő szárú háromszögben a tükrözések miatt $A T = 5 a$ , $T K_{3} = 3 b$ , vagyis $5 a = 3 b$ , amiből $b = \frac{5}{3} a$ .

1. ábra

Mivel a golyó háromszor ütközik az oldalakon, 4 asztalon kell végighaladnia a kiegyenesített úton az ütközésig.
A 2. ábrán látható, hogy ez 4-féle módon lehetséges. Az ,,

a

'' és ,,

d

'' esetben csak két különböző oldalon pattan a golyó, így ezeket kizárjuk. A ,,

b

'' eset szerepel példaként a feladatban. Így csak a ,,

c

'' eset marad. Az

A K T

háromszögben

A T = 5 b

K T = 3 a

. Az első esetből tudjuk, hogy

b = \frac{5}{3} a

, így

\begin{matrix} tg α = \frac{K T}{A T} = \frac{3 a}{5 b} = \frac{9}{25}, amiből α = 19, 798^{\circ} \approx 19, 8^{\circ} . \end{matrix}

Tehát az

A B

oldalhoz képest 19,8 fokos szögben kell ellökni a golyót.

2. ábra