Feladat: B.4112 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Zelana Réka 
Füzet: 2009/március, 160 - 161. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Téglalapok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/október: B.4112

Egy téglalap alakú ABCD biliárdasztal A csúcsából a szögfelező irányában ellökünk egy golyót, mely a CD, BC majd AB oldalakról visszapattanva éppen telibe találja a téglalap közepén álló golyót. Milyen más irányban lökhetjük még el a golyót az A pontból, hogy három különböző oldalról visszapattanva szintén telibe találja a középen álló golyót?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A biliárdasztalt szemléltető ABCD téglalapot többször egymásután tükrözzük, mindig arra az oldalára, ahol az ütközés történik. Mivel az ütközésnél a beesés és a visszaverődés szöge egyenlő, így a golyó útja kiegyenesíthető (1. ábra). Legyen az ABCD téglalap AD oldala 2a, AB oldala 2b hosszú. Ekkor az ATK3 egyenlő szárú háromszögben a tükrözések miatt AT=5a, TK3=3b, vagyis 5a=3b, amiből b=53a.

 

 
1. ábra
 

Mivel a golyó háromszor ütközik az oldalakon, 4 asztalon kell végighaladnia a kiegyenesített úton az ütközésig.
A 2. ábrán látható, hogy ez 4-féle módon lehetséges. Az ,,a'' és ,,d'' esetben csak két különböző oldalon pattan a golyó, így ezeket kizárjuk. A ,,b'' eset szerepel példaként a feladatban. Így csak a ,,c'' eset marad. Az AKT háromszögben AT=5b, KT=3a. Az első esetből tudjuk, hogy b=53a, így
tgα=KTAT=3a5b=925,amibőlα=19,79819,8.
Tehát az AB oldalhoz képest 19,8 fokos szögben kell ellökni a golyót.
 

 
2. ábra