Kezdőlap


Feladat:	B.4105	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Egyed Zsombor
Füzet:	2009/március, 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oldalfelező merőleges, Háromszögek egybevágósága, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/szeptember: B.4105

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vegyük föl a két száron $C$ -től 0,5 egységnyire az $F_{1}$ és az $F_{2}$ pontot, majd állítsunk merőlegest a két pontban a megfelelő szárra.

A két merőleges metszéspontja legyen

P

. A szimmetria miatt

F_{1} P = F_{2} P

. Ha

A \equiv F_{1}

és

B \equiv F_{2}

, akkor

P

illeszkedik

A B

felező merőlegesére.
Egyébként vegyük fel a

C F_{1}

félegyenesen

F_{1}

-től

x < 0, 5

távolságra az

A

pontot. Ekkor a

B

pont a

C F_{2}

félegyenesen

F_{2}

-től

x

távolságra kell, hogy legyen, a

C

-vel ellentétes irányban. A

P F_{1} A

háromszög egybevágó a

P F_{2} B

háromszöggel, hiszen

A F_{1} = B F_{2}

P F_{1} = P F_{2}

, és az általuk közbezárt szög

90^{\circ}

. Így a harmadik oldal is egyenlő:

A P = B P

, vagyis

P

rajta van az

A B

szakasz felező merőlegesén. Ha

x > 0,5

, akkor a két szögszár szerepe fölcserélődik, és

A B

felező merőlegese ekkor is áthalad a

P

ponton.