Feladat: B.4105 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Egyed Zsombor 
Füzet: 2009/március, 159. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oldalfelező merőleges, Háromszögek egybevágósága, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/szeptember: B.4105

A C csúcsú szög egyik szárán az A, a másik szárán a B pont úgy mozog, hogy CA+CB=1. Bizonyítsuk be, hogy van egy olyan pont, amelyen AB felezőmerőlegese mindig áthalad.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vegyük föl a két száron C-től 0,5 egységnyire az F1 és az F2 pontot, majd állítsunk merőlegest a két pontban a megfelelő szárra.

 
 

A két merőleges metszéspontja legyen P. A szimmetria miatt F1P=F2P. Ha AF1 és BF2, akkor P illeszkedik AB felező merőlegesére.
Egyébként vegyük fel a CF1 félegyenesen F1-től x<0,5 távolságra az A pontot. Ekkor a B pont a CF2 félegyenesen F2-től x távolságra kell, hogy legyen, a C-vel ellentétes irányban. A PF1A háromszög egybevágó a PF2B háromszöggel, hiszen AF1=BF2, PF1=PF2, és az általuk közbezárt szög 90. Így a harmadik oldal is egyenlő: AP=BP, vagyis P rajta van az AB szakasz felező merőlegesén. Ha
x>0,5, akkor a két szögszár szerepe fölcserélődik, és AB felező merőlegese ekkor is áthalad a P ponton.