Kezdőlap


Feladat:	B.4068	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2009/március, 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímszámok, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/február: B.4068

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha $A \cdot a + B \cdot b + C \cdot c$ összetett szám, akkor $n = 1$ megfelelő.
Ellenkező esetben $a b c > 1$ miatt $a$ , $b$ és $c$ közül legalább az egyik nagyobb 1-nél, így $A \cdot a + B \cdot b + C \cdot c > 1$ és nem összetett szám, tehát prímszám; jelöljük $p$ -vel. Megmutatjuk, hogy ekkor az $n = p$ választás megfelelő.
A kis Fermat-tétel szerint

\begin{matrix} p ∣ a^{p} - a, p ∣ b^{p} - b és p ∣ c^{p} - c . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} p ∣ A (a^{p} - a) + B (b^{p} - b) + C (c^{p} - c) = \\ = (A \cdot a^{p} + B \cdot b^{p} + C \cdot c^{p}) - (A a + B b + C c) = S - p, \end{matrix}

ahol

S = A \cdot a^{p} + B \cdot b^{p} + C \cdot c^{p}

. Tehát

p ∣ S

. Mivel

S > A a + B b + C c = p

és osztható

p

-vel, azért összetett szám.

Megjegyzés. A kis Fermat-tételt számos számelmélettel foglalkozó könyvben megtalálhatjuk, például Freud ‐ Gyarmati: Számelmélet című tankönyvében is. Az interneten pedig például itt: http://matek.fazekas.hu/portal/eloadas/2005/kisfermat.html.