Feladat: B.4068 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 2009/március, 155. oldal  PDF file
Témakör(ök): Prímszámok, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/február: B.4068

Legyenek A, B, C, a, b, c pozitív egész számok, abc>1. Igazoljuk, hogy létezik olyan n pozitív egész, amelyre
Aan+Bbn+Ccn
összetett szám.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha Aa+Bb+Cc összetett szám, akkor n=1 megfelelő.
Ellenkező esetben abc>1 miatt a, b és c közül legalább az egyik nagyobb 1-nél, így Aa+Bb+Cc>1 és nem összetett szám, tehát prímszám; jelöljük p-vel. Megmutatjuk, hogy ekkor az n=p választás megfelelő.
A kis Fermat-tétel szerint

pap-a,pbp-béspcp-c.
Így
pA(ap-a)+B(bp-b)+C(cp-c)==(Aap+Bbp+Ccp)-(Aa+Bb+Cc)=S-p,
ahol S=Aap+Bbp+Ccp. Tehát pS. Mivel S>Aa+Bb+Cc=p és osztható p-vel, azért összetett szám.
 
Megjegyzés. A kis Fermat-tételt számos számelmélettel foglalkozó könyvben megtalálhatjuk, például Freud ‐ Gyarmati: Számelmélet című tankönyvében is. Az interneten pedig például itt: http://matek.fazekas.hu/portal/eloadas/2005/kisfermat.html.