Kezdőlap


Feladat:	C.934	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pásztor Bálint
Füzet:	2009/március, 150 - 151. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Tetraéderek, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/február: C.934

Három rudat (amelyeknek a vastagsága elhanyagolható) páronként merőlegesen rögzítettük egy közös pontban egymáshoz az egyik végüknél. A rudak hossza 1, 2 és 3. Az így kapott építményt úgy raktuk le az asztalra, hogy a rudak szabadon álló végei illeszkednek az asztallap síkjára. Határozzuk meg, hogy pontosan milyen magasan van a rögzítési pont az asztal fölött.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az asztallappal együtt a rudak egy háromszög alapú gúlát határoznak meg. Az asztallappal való érintkezési pontok által meghatározott háromszög oldalai a páronként merőleges rudak miatt Pitagorasz-tétellel számolhatók:

\begin{matrix} \sqrt[]{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt[]{5}, \sqrt[]{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt[]{10}, \sqrt[]{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt[]{13} . \end{matrix}

a

b

c

hosszúságú, páronként merőleges oldalélekből alkotott gúla térfogatát a következő módon számolhatjuk ki. Az egyik lap területe:

T = \frac{a b}{2}

, a harmadik él, mint magassággal a térfogat:

V = \frac{T c}{3} = \frac{a b c}{6}

. Esetünkben:

V = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1

Kiszámítjuk másrészt a

\sqrt[]{5}

\sqrt[]{10}

\sqrt[]{13}

oldalhosszú lap területét. A

\sqrt[]{13}

hosszúságú oldallal szemközti szög koszinuszát a koszinusz-tétellel határozzuk meg:

\begin{matrix} 13 = 5 + 10 - 2 \sqrt[]{50} cos φ, vagyis cos φ = \frac{1}{\sqrt[]{50}} . \end{matrix}

Mivel

sin^{2} x + cos^{2} x = 1

, és háromszög esetén

sin x > 0

, így

\begin{matrix} sin φ = \sqrt[]{1 - \frac{1}{50}} = \sqrt[]{\frac{49}{50}} = \frac{7}{\sqrt[]{50}} . \end{matrix}

A háromszög területe:

\begin{matrix} t = \frac{\sqrt[]{5} \cdot \sqrt[]{10} \cdot \frac{7}{\sqrt[]{50}}}{2} = \frac{7}{2} . \end{matrix}

A gúla térfogata:

V = \frac{t \cdot m}{3}

, ebből a magasság:

\begin{matrix} m = \frac{3 V}{t} = \frac{3 \cdot 1}{\frac{7}{2}} = \frac{6}{7} . \end{matrix}

Tehát a rögzítési pont

\frac{6}{7}

magasságban van az asztal fölött.