Feladat: C.934 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Pásztor Bálint 
Füzet: 2009/március, 150 - 151. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Tetraéderek, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/február: C.934

Három rudat (amelyeknek a vastagsága elhanyagolható) páronként merőlegesen rögzítettük egy közös pontban egymáshoz az egyik végüknél. A rudak hossza 1, 2 és 3. Az így kapott építményt úgy raktuk le az asztalra, hogy a rudak szabadon álló végei illeszkednek az asztallap síkjára. Határozzuk meg, hogy pontosan milyen magasan van a rögzítési pont az asztal fölött.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az asztallappal együtt a rudak egy háromszög alapú gúlát határoznak meg. Az asztallappal való érintkezési pontok által meghatározott háromszög oldalai a páronként merőleges rudak miatt Pitagorasz-tétellel számolhatók:

12+22=5,12+32=10,22+32=13.
Az a, b, c hosszúságú, páronként merőleges oldalélekből alkotott gúla térfogatát a következő módon számolhatjuk ki. Az egyik lap területe: T=ab2, a harmadik él, mint magassággal a térfogat: V=Tc3=abc6. Esetünkben: V=1236=1.
 
 

Kiszámítjuk másrészt a 5, 10, 13 oldalhosszú lap területét. A 13 hosszúságú oldallal szemközti szög koszinuszát a koszinusz-tétellel határozzuk meg:
13=5+10-250cosφ,vagyiscosφ=150.
Mivel sin2x+cos2x=1, és háromszög esetén sinx>0, így
sinφ=1-150=4950=750.
A háromszög területe:
t=5107502=72.
A gúla térfogata: V=tm3, ebből a magasság:
m=3Vt=3172=67.
Tehát a rögzítési pont 67 magasságban van az asztal fölött.