Kezdőlap


Feladat:	C.933	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lantos Tamás
Füzet:	2009/március, 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Geometriai egyenlőtlenségek, Szögfelező egyenes, Háromszögek geometriája, Hossz, kerület, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/február: C.933

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel az $A B C$ és az $A B D$ háromszög $A B$ oldala közös, elegendő $A D$ és $D B$ összegét $A C$ és $C B$ összegéhez viszonyítani.
Mérjük fel $C B$ -t az $A C$ egyenesére, azaz hosszabbítsuk meg $A C$ -t $C B$ -vel a $C$ ponton túl. Így $A C + C B = b + a = A E$ . Ennél kell nagyobbnak lennie $A D$ és $D B$ összegének. A keletkezett $B E C$ háromszög egyenlő szárú, tehát a $C$ -ből induló súlyvonala egyben szögfelező, magasságvonal és szimmetriatengely is, azaz egyenesének minden pontjára igaz, hogy $B$ -től és $E$ -től egyenlő távolságra van.

Bárhol is veszünk fel ezen az egyenesen egy

D

pontot, igaz lesz, hogy

\begin{matrix} A D + D B \geq A C + C B, \end{matrix}

hiszen a háromszög-egyenlőtlenség szerint

A D + D E \geq A E = A C + C B

és

D B = D E

. Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha

C

és

D

egybeesik. Tehát ezen egyenes

C

-től különböző bármely

D

pontjára

A D + D B > A C + C B

(ezáltal pedig

A B + A D + D B > A B + A C + C B

), tehát az

A B D

háromszög kerülete nagyobb, mint az

A B C

háromszög kerülete.
A keresett egyenes az

A B C

háromszög

C

-nél lévő külső szögének szögfelezője.