Feladat: C.933 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Lantos Tamás 
Füzet: 2009/március, 150. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai szerkesztések, Geometriai egyenlőtlenségek, Szögfelező egyenes, Háromszögek geometriája, Hossz, kerület, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/február: C.933

Adott az ABC háromszög. Adjuk meg azt a C ponton átmenő egyenest, amelynek C-től különböző bármely D pontjára az ABD háromszög kerülete nagyobb, mint az ABC háromszög kerülete.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel az ABC és az ABD háromszög AB oldala közös, elegendő AD és DB összegét AC és CB összegéhez viszonyítani.
Mérjük fel CB-t az AC egyenesére, azaz hosszabbítsuk meg AC-t CB-vel a C ponton túl. Így AC+CB=b+a=AE. Ennél kell nagyobbnak lennie AD és DB összegének. A keletkezett BEC háromszög egyenlő szárú, tehát a C-ből induló súlyvonala egyben szögfelező, magasságvonal és szimmetriatengely is, azaz egyenesének minden pontjára igaz, hogy B-től és E-től egyenlő távolságra van.

 
 

Bárhol is veszünk fel ezen az egyenesen egy D pontot, igaz lesz, hogy
AD+DBAC+CB,
hiszen a háromszög-egyenlőtlenség szerint AD+DEAE=AC+CB és DB=DE. Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha C és D egybeesik. Tehát ezen egyenes C-től különböző bármely D pontjára
AD+DB>AC+CB (ezáltal pedig AB+AD+DB>AB+AC+CB), tehát az ABD háromszög kerülete nagyobb, mint az ABC háromszög kerülete.
A keresett egyenes az ABC háromszög C-nél lévő külső szögének szögfelezője.