Kezdőlap


Feladat:	4072. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Varga Ádám
Füzet:	2009/február, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Pontszerű töltés térerőssége
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/április: 4072. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A $q$ töltésű testre az elengedés pillanatában a másik két töltés külön-külön

\begin{matrix} F_{0} = k \frac{q Q}{ℓ^{2}} \end{matrix}

nagyságú elektrosztatikus taszítóerőt fejt. Ezek az erők

60^{\circ}

-os szöget zárnak be egymással, eredőjük tehát

\begin{matrix} F = 2 F_{0} cos 30^{\circ} = \sqrt[]{3} k {\frac{q Q}{ℓ}}^{2} . \end{matrix}

Newton mozgástörvénye szerint a test gyorsulása:

\begin{matrix} a = \frac{F}{m} = \sqrt[]{3} k {\frac{q Q}{m ℓ}}^{2} = \frac{\sqrt[]{3} \cdot 9 \cdot 10^{9} \cdot 10^{- 8} \cdot 10^{- 9}}{10^{- 6} \cdot 10^{- 2}} \approx 15, 6 \frac{m}{s^{2}} . \end{matrix}

A rögzített töltésektől

ℓ

távolságban a

q

töltésű test

E_{0} = 2 \cdot k \frac{q Q}{ℓ}

elektrosztatikus energiával rendelkezik. (A képletben szereplő 2-es faktor a páronként számolható energiák összegéből adódik.) A

2 ℓ

távolságra elmozduló töltött test elektrosztatikus energiája

E_{1} = 2 \cdot k \frac{q Q}{2 ℓ}

értékre csökken, az energiakülönbség a test mozgási energiáját fedezi:

\begin{matrix} E_{0} - E_{1} = k \frac{q Q}{ℓ} = \frac{1}{2} m v^{2}, \end{matrix}

ahonnan a test sebessége a kérdéses pontban:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{2 k q Q}{m ℓ}} = 1, 34 \frac{m}{s} . \end{matrix}

Amennyiben a nehézségi erő hatását is figyelembe vesszük, akkor a függőleges mozgás kétféle módon is megvalósulhat. Ha a

q

töltésű test az azonos magasságban rögzített két töltés felezőpontja fölött helyezkedik el, akkor a kezdeti gyorsulás a fentebb kiszámított

a

gyorsulás és a nehézségi gyorsulás különbsége:

\begin{matrix} a_{fel} = a - g = 5, 6 \frac{m}{s^{2}} . \end{matrix}

Ebben az elrendezésben azonban a test soha nem távolodik el a rögzített töltésektől

2 ℓ

távolságra, hanem már hamarabb visszafordul és (anharmonikus) rezgőmozgást végez. (Ezt onnan tudjuk, hogy az energia-tételből kiszámolható sebességnégyzetre a töltésektől

2 ℓ

távolságban negatív szám adódna!)
A másik lehetőség: a

q

töltésű test kezdetben a rögzített töltések felezőpontja alatt található. A kezdeti gyorsulás ilyenkor:

\begin{matrix} a_{le} = a + g = 25, 6 \frac{m}{s^{2}} . \end{matrix}

és a kérdezett sebesség (ugyancsak az energia-tételből számolva):

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{2 k q Q}{ℓ m} + g ℓ (\sqrt[]{15} - \sqrt[]{3})} \approx 2, 0 \frac{m}{s} . \end{matrix}