Kezdőlap


Feladat:	B.4097	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Matyuska Péter
Füzet:	2009/február, 97 - 98. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Maradékos osztás, kongruenciák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/május: B.4097

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Nyilván $y \neq 0$ . Alakítsuk át az egyenletet:

\begin{matrix} 1 = 2^{\frac{x - y}{y}} - \frac{3}{2} y = 2^{\frac{x}{y} - 1} - \frac{3}{2} y = \frac{2^{\frac{x}{y}}}{2} - \frac{3}{2} y . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} 2^{\frac{x}{y}} - 2 = 3 y . \end{matrix}

(1)

A jobb oldalon álló szám osztható 3-mal. A bal oldalon álló kifejezés

\begin{matrix} 2^{\frac{x}{y}} - 2 > - 2, \end{matrix}

(2)

mert 2 hatványai pozitív számok és (1) miatt

2^{\frac{x}{y}}

csak egész szám lehet. Tehát

\frac{x}{y}

is egész szám. (1)-ből és (2)-ből következik, hogy

3 y > - 2

, és mivel

y \neq 0

, azért

y > 0

is teljesül.
Az (1) egyenletet vizsgáljuk. A bal oldalon egy 2-hatványnál 2-vel kisebb szám áll, ami 3-mal osztható.
I. eset: ha

\frac{x}{y} = 2 n

, akkor

2^{\frac{x}{y}} = 2^{2 n} = {(2^{n})}^{2}

, ami 3-mal osztva 1 maradékot ad, és így a bal oldal 3-mal vett osztási maradéka 2. Tehát ekkor nem kapunk megoldást.
II. eset: ha

\frac{x}{y} = 2 n + 1

, akkor

2^{\frac{x}{y}} = 2^{2 n + 1} = 2 \cdot 2^{2 n}

alakú a 2-hatvány, aminek 3-mal való osztási maradéka 2. Így a bal oldal 3-mal osztható, vagyis ebben az esetben van megoldás:

2^{2 n + 1} - 2 = 3 y

, amiből

\begin{matrix} y = \frac{2^{2 n + 1} - 2}{3} . \end{matrix}

Így

\frac{x}{y} = 2 n + 1

miatt

\begin{matrix} \frac{x}{\frac{2^{2 n + 1} - 2}{3}} = 2 n + 1, ahonnan x = \frac{(2 n + 1) (2^{2 n + 1} - 2)}{3} . \end{matrix}

A megoldás:

\begin{matrix} x = \frac{(2 n + 1) (2^{2 n + 1} - 2)}{3}, y = \frac{2^{2 n + 1} - 2}{3}, ahol n \in Z^{+} . \end{matrix}