Feladat: B.4097 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Matyuska Péter 
Füzet: 2009/február, 97 - 98. oldal  PDF file
Témakör(ök): Exponenciális egyenletek, Maradékos osztás, kongruenciák, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/május: B.4097

Oldjuk meg az alábbi egyenletet az egész számok körében:
2x-yy-32y=1.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Nyilván y0. Alakítsuk át az egyenletet:

1=2x-yy-32y=2xy-1-32y=2xy2-32y.
Ebből
2xy-2=3y.(1)

A jobb oldalon álló szám osztható 3-mal. A bal oldalon álló kifejezés
2xy-2>-2,(2)
mert 2 hatványai pozitív számok és (1) miatt 2xy csak egész szám lehet. Tehát xy is egész szám. (1)-ből és (2)-ből következik, hogy 3y>-2, és mivel y0, azért y>0 is teljesül.
Az (1) egyenletet vizsgáljuk. A bal oldalon egy 2-hatványnál 2-vel kisebb szám áll, ami 3-mal osztható.
I. eset: ha xy=2n, akkor 2xy=22n=(2n)2, ami 3-mal osztva 1 maradékot ad, és így a bal oldal 3-mal vett osztási maradéka 2. Tehát ekkor nem kapunk megoldást.
II. eset: ha xy=2n+1, akkor 2xy=22n+1=222n alakú a 2-hatvány, aminek 3-mal való osztási maradéka 2. Így a bal oldal 3-mal osztható, vagyis ebben az esetben van megoldás: 22n+1-2=3y, amiből
y=22n+1-23.
Így xy=2n+1 miatt
x22n+1-23=2n+1,ahonnanx=(2n+1)(22n+1-2)3.

A megoldás:
x=(2n+1)(22n+1-2)3,y=22n+1-23,ahol  nZ+.