Kezdőlap


Feladat:	4041. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almási Gábor András , Boros Csanád Örs , Deák Zsolt , Deli Gábor , Englert Dávid , Fekete István , Filep Tibor , Fonyó Dávid , Földes Imre , Guszejnov Dávid , Hartstein Máté , Hegedűs Bence , Hegyi Ádám , Hlatky Dávid , Iván Dávid , Jakab Dávid , Kovács Gábor , Kovács István , Krämer Zsolt , Pázmán Koppány , Szolnoki Lénárd , Tolner Ferenc , Tószegi Károly , Tóth László , Túri Attila , Varga Ádám , Velicsányi Péter , Ölvedi Tibor
Füzet:	2009/január, 44 - 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai inga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/január: 4041. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A $2 ℓ$ hosszú, $m$ tömegű homogén rúd tehetetlenségi nyomatéka a tömegközéppontjára vonatkoztatva

\begin{matrix} Θ_{tkp.} = \frac{1}{12} m {(2 ℓ)}^{2} = \frac{1}{3} m ℓ^{2} . \end{matrix}

Amennyiben ez a rúd egy

R

sugarú kör mentén mozoghat, a kör középpontján áthaladó forgástengely

\begin{matrix} h = \sqrt[]{R^{2} - ℓ^{2}} \end{matrix}

távolságban lesz a rúd tömegközéppontjától. A forgástengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték a Steiner-tétel szerint:

\begin{matrix} Θ_{t} = Θ_{tkp.} + m h^{2} = \frac{1}{3} m ℓ^{2} + m (R^{2} - ℓ^{2}) = m (R^{2} - \frac{2}{3} ℓ^{2}) . \end{matrix}

A függőleges síkban kis rezgéseket végző rúd periódusidejét a fizikai inga lengésidő-képletéből számíthatjuk ki:

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{Θ_{t}}{m g h}} = 2 π \sqrt[]{\frac{R^{2} - \frac{2}{3} ℓ^{2}}{g \sqrt[]{R^{2} - ℓ^{2}}}} . \end{matrix}

A rezgés frekvenciája tehát

\begin{matrix} f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 π} \sqrt[]{\frac{3 g \sqrt[]{R^{2} - ℓ^{2}}}{3 R^{2} - 2 ℓ^{2}}} . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. Ha

ℓ ≪ R

, a lengésidő képlete a matematikai inga

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{R}{g}} \end{matrix}

formuláját adja vissza. A másik határesetben, amikor

R

csak nagyon kicsivel nagyobb

ℓ

-nél, a lengésidő igen nagy, a frekvencia pedig igen kicsi lesz.
2. Ha a feladatban szereplő mozgást valaki kísérletileg is tanulmányozni akarja, a (jó közelítéssel) súrlódás nélküli mozgást a rúd végeihez erősített

R

hosszú fonalakkal oldhatja meg. Amennyiben 2-2 fonalat köt a rúd végeihez, és azokat kicsit ,,szétterpesztve'' rögzíti a forgástengelyhez, ezzel a ,,bifiláris felfüggesztésnek'' nevezett elrendezéssel még a lengési sík elfordulását is megakadályozhatja.