Feladat: 4041. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Almási Gábor András ,  Boros Csanád Örs ,  Deák Zsolt ,  Deli Gábor ,  Englert Dávid ,  Fekete István ,  Filep Tibor ,  Fonyó Dávid ,  Földes Imre ,  Guszejnov Dávid ,  Hartstein Máté ,  Hegedűs Bence ,  Hegyi Ádám ,  Hlatky Dávid ,  Iván Dávid ,  Jakab Dávid ,  Kovács Gábor ,  Kovács István ,  Krämer Zsolt ,  Pázmán Koppány ,  Szolnoki Lénárd ,  Tolner Ferenc ,  Tószegi Károly ,  Tóth László ,  Túri Attila ,  Varga Ádám ,  Velicsányi Péter ,  Ölvedi Tibor 
Füzet: 2009/január, 44 - 45. oldal  PDF file
Témakör(ök): Fizikai inga, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/január: 4041. fizika feladat

Egy m tömegű, 2 hosszúságú, vékony, homogén rúd R sugarú, függőleges síkú körben mozoghat súrlódás nélkül. Határozzuk meg az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgés frekvenciáját!
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A 2 hosszú, m tömegű homogén rúd tehetetlenségi nyomatéka a tömegközéppontjára vonatkoztatva

Θtkp.=112m(2)2=13m2.
Amennyiben ez a rúd egy R sugarú kör mentén mozoghat, a kör középpontján áthaladó forgástengely
h=R2-2
távolságban lesz a rúd tömegközéppontjától. A forgástengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték a Steiner-tétel szerint:
Θt=Θtkp.+mh2=13m2+m(R2-2)=m(R2-232).

A függőleges síkban kis rezgéseket végző rúd periódusidejét a fizikai inga lengésidő-képletéből számíthatjuk ki:
T=2πΘtmgh=2πR2-232gR2-2.
A rezgés frekvenciája tehát
f=1T=12π3gR2-23R2-22.

 

Megjegyzések. 1. Ha R, a lengésidő képlete a matematikai inga
T=2πRg
formuláját adja vissza. A másik határesetben, amikor R csak nagyon kicsivel nagyobb -nél, a lengésidő igen nagy, a frekvencia pedig igen kicsi lesz.
2. Ha a feladatban szereplő mozgást valaki kísérletileg is tanulmányozni akarja, a (jó közelítéssel) súrlódás nélküli mozgást a rúd végeihez erősített R hosszú fonalakkal oldhatja meg. Amennyiben 2-2 fonalat köt a rúd végeihez, és azokat kicsit ,,szétterpesztve'' rögzíti a forgástengelyhez, ezzel a ,,bifiláris felfüggesztésnek'' nevezett elrendezéssel még a lengési sík elfordulását is megakadályozhatja.