Kezdőlap


Feladat:	B.4099	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bartha Zsolt , Márkus Bence
Füzet:	2009/január, 31. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számelrendezések, Indirekt bizonyítási mód, Konstruktív megoldási módszer, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/május: B.4099

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje rendre $a_{i}$ és $b_{i}$ azt, hogy az $i$ számjegy hány különböző sorban, illetve oszlopban fordul elő. Ha minden sor mellé és oszlop fölé odaírjuk, hogy ott mely számok találhatók meg (legalább egyszer), akkor a sorok mellé összesen $\sum_{i = 0}^{9} a_{i}$ , az oszlopok fölé pedig $\sum_{i = 0}^{9} b_{i}$ darab számot írtunk le. Tegyük fel, hogy ‐ a feladat állításával ellentétben ‐ minden sorban és minden oszlopban egyaránt legfeljebb 3 különböző szám található. Ekkor $\sum_{i = 0}^{9} a_{i} \leq 30$ és $\sum_{i = 0}^{9} b_{i} \leq 30$ , ezért

\begin{matrix} \sum_{i = 0}^{9} (a_{i} + b_{i}) = \sum_{i = 0}^{9} a_{i} + \sum_{i = 0}^{9} b_{i} \leq 60. \end{matrix}

Ezek szerint léteznie kell olyan

i

számjegynek, amelyre

a_{i} + b_{i} \leq 6

. Erre

a_{i} b_{i} \leq {(\frac{a_{i} + b_{i}}{2})}^{2} \leq 9

. Azonban

a_{i} b_{i} \leq 9

azt jelenti, hogy az

i

számjegy a táblázatban legfeljebb 9 helyen fordul elő. Ez az ellentmondás bizonyítja az állítást.