Kezdőlap


Feladat:	C.947	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Scharle András
Füzet:	2009/január, 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/május: C.947

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a nyúl a sínekre merőlegesen futna, akkor a 160 m utat $\frac{160}{15} = \frac{32}{3}$ sec alatt tenné meg, a vonat pedig $\frac{300}{30} = 10$ sec alatt érne oda. Így a nyuszi nem jutna át a síneken a vonat előtt. A nyúlnak valamilyen ferde irányba kell tehát elindulni. Jelöljük $E$ -vel azt a pontot, ahol a síneket eléri. A $T E$ távolság legyen $x$ . Az $A T E$ derékszögű háromszögben $A E = \sqrt[]{160^{2} + x^{2}}$ , ekkora utat tesz meg a nyúl.

A vonat a

T

ponttól 300 m-re van a

B

pontban. A vonat útja az

E

pontig

300 + x

méter. Akkor jut át a nyúl a vonat előtt a síneken, ha útját hamarabb teszi meg, mint a vonat, azaz ha

\begin{matrix} \frac{300 + x}{30} > \frac{\sqrt[]{160^{2} + x^{2}}}{15} . \end{matrix}

Oldjuk meg az egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} 300^{2} + 600 x + x^{2} > 2^{2} \cdot 160^{2} + 2^{2} x^{2} . \end{matrix}

Rendezve:

\begin{matrix} 3 x^{2} - 600 x + 12 400 < 0. \end{matrix}

Innen

23, 41 < x < 176, 59

.
A nyuszi át tud szaladni a vonat előtt, ha a

T

ponttól legalább 23,41 és legfeljebb 176,59 méterre érkezik a sínekhez (

8, 32^{\circ} < T A E ∢ < 47, 82^{\circ}