Feladat: C.947 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Scharle András 
Füzet: 2009/január, 25. oldal  PDF file
Témakör(ök): Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/május: C.947

Egy egyenes vasúti síntől 160 m-re fülel egy nyuszi az A pontban. Az A pont merőleges vetülete a sínekre T. Egy vonat közeledik a T pont felé 30 m/s sebességgel, a vonat elejének a távolsága a T ponttól kezdetben 300 m. A nyúl 15 m/s sebességgel tud futni. Át tud-e valamilyen irányban futni a nyuszi a vonat előtt a síneken?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a nyúl a sínekre merőlegesen futna, akkor a 160 m utat 16015=323 sec alatt tenné meg, a vonat pedig 30030=10 sec alatt érne oda. Így a nyuszi nem jutna át a síneken a vonat előtt. A nyúlnak valamilyen ferde irányba kell tehát elindulni. Jelöljük E-vel azt a pontot, ahol a síneket eléri. A TE távolság legyen x. Az ATE derékszögű háromszögben AE=1602+x2, ekkora utat tesz meg a nyúl.

 
 

A vonat a T ponttól 300 m-re van a B pontban. A vonat útja az E pontig 300+x méter. Akkor jut át a nyúl a vonat előtt a síneken, ha útját hamarabb teszi meg, mint a vonat, azaz ha
300+x30>1602+x215.
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget:
3002+600x+x2>221602+22x2.
Rendezve:
3x2-600x+12400<0.
Innen 23,41<x<176,59.
A nyuszi át tud szaladni a vonat előtt, ha a T ponttól legalább 23,41 és legfeljebb 176,59 méterre érkezik a sínekhez (8,32<TAE<47,82).