Kezdőlap


Feladat:	C.936	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szikszay László
Füzet:	2009/január, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Diofantikus egyenletek, Prímtényezős felbontás, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/március: C.936

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Egy, a feltételt kielégítő szám legyen $n$ . Írjuk fel $n$ prímtényezős felbontását:

\begin{matrix} n = 2^{x} 3^{y} p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} ... p_{k}^{α_{k}}, \end{matrix}

ahol

x, y \geq 1

, különben a 6-tal osztható osztók száma 0 lenne, ám az osztók száma sosem 0. Innen a 6-tal oszthatók száma:

\begin{matrix} x \cdot y \cdot (α_{1} + 1) \cdot (α_{2} + 1) \cdot ... \cdot (α_{k} + 1), \end{matrix}

az összes osztók száma:

\begin{matrix} (x + 1) \cdot (y + 1) \cdot (α_{1} + 1) \cdot ... \cdot (α_{k} + 1) . \end{matrix}

A feladat feltételéből

\begin{matrix} 2 x y = (α_{1} + 1) (α_{2} + 1) \dots (α_{k} + 1) = (x + 1) (y + 1) (α_{1} + 1) (α_{2} + 1) \dots (α_{k} + 1), \end{matrix}

és innen

2 x y = (x + 1) (y + 1)

. Elvégezve a kijelölt műveleteket, a következő diofantoszi egyenlethez jutunk:

x y = x + y + 1

. Oldjuk meg az egyenletet a szokásos módon:

\begin{matrix} x (y - 1) = y + 1, \\ x = \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{y - 1 + 2}{y - 1} = 1 + \frac{2}{y - 1} . \end{matrix}

Mivel

x

y

pozitív egészek,

y - 1

osztója 2-nek. Az osztók közül csak azokat kell figyelembe venni, melyekre

x \geq 1

lesz, azaz

y - 1 = 1

vagy

y - 1 = 2

. Az egyenlet megoldása a

(3; 2)

vagy a

(2; 3)

számpár. A feladat megoldását azok a

72 n

, illetve

108 n

alakú számok adják, amelyekre

n

sem 2-vel, sem 3-mal nem osztható.