Feladat: C.936 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Szikszay László 
Füzet: 2009/január, 21 - 22. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Diofantikus egyenletek, Prímtényezős felbontás, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/március: C.936

Adjuk meg az összes olyan pozitív egész számot, amelynek ugyanannyi hattal osztható osztója van, mint ahány hattal nem osztható.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Egy, a feltételt kielégítő szám legyen n. Írjuk fel n prímtényezős felbontását:

n=2x3yp1α1p2α2...pkαk,
ahol x,y1, különben a 6-tal osztható osztók száma 0 lenne, ám az osztók száma sosem 0. Innen a 6-tal oszthatók száma:
xy(α1+1)(α2+1)...(αk+1),
az összes osztók száma:
(x+1)(y+1)(α1+1)...(αk+1).
A feladat feltételéből
2xy=(α1+1)(α2+1)(αk+1)=(x+1)(y+1)(α1+1)(α2+1)(αk+1),
és innen 2xy=(x+1)(y+1). Elvégezve a kijelölt műveleteket, a következő diofantoszi egyenlethez jutunk: xy=x+y+1. Oldjuk meg az egyenletet a szokásos módon:
x(y-1)=y+1,x=y+1y-1=y-1+2y-1=1+2y-1.
Mivel x, y pozitív egészek, y-1 osztója 2-nek. Az osztók közül csak azokat kell figyelembe venni, melyekre x1 lesz, azaz y-1=1 vagy y-1=2. Az egyenlet megoldása a (3;2) vagy a (2;3) számpár. A feladat megoldását azok a 72n, illetve 108n alakú számok adják, amelyekre n sem 2-vel, sem 3-mal nem osztható.