Kezdőlap


Feladat:	2008. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 13. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2008/november, 494 - 498. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Légköri nyomás, Egyéb állapotegyenlet
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/október: 2008. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 13. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1.1. A $z$ magasságban levő, $ϱ (z)$ sűrűségű, $A$ területű, $d z$ vastagságú levegőréteg $A ϱ (z) g d z$ súlya megegyezik a levegőréteg alján és tetején mérhető nyomáskülönbségből származó $- A (p (z + d z) - p (z))$ erővel. Felhasználva, hogy $ϱ = \frac{μ p}{R T_{0}}$ , a nyomás magasságtól való függésére a

\begin{matrix} p' (z) = - \frac{μ g}{R T_{0}} p (z) \end{matrix}

differenciálegyenletet kapjuk, melynek megoldása

\begin{matrix} p (z) = p_{0} e^{- \frac{μ g}{R T_{0}} z} . \end{matrix}

1.2. Az előzőekhez hasonló érveléssel most a

p (z)

függvényre a

\begin{matrix} p' (z) = - \frac{μ g}{R (T (0) - Λ z)} p (z) \end{matrix}

(ún. szeparálható) differenciálegyenlet vezethető le, mely a feladatban közölt segítséggel megoldható:

\begin{matrix} \int \frac{d p}{p} = ln p + C_{1}; - \frac{μ g}{R} \int \frac{d z}{T (0) - Λ z} = \frac{μ g}{R Λ} ln (T (0) - Λ z) + C_{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} p (z) = p_{0} {(1 - \frac{Λ z}{T (0)})}^{\frac{μ g}{R Λ}} . \end{matrix}

A sűrűség magasságtól való függése:

\begin{matrix} ϱ (z) = \frac{μ p (z)}{R T (z)} = \frac{μ p_{0}}{R T (0)} {(1 - \frac{Λ z}{T (0)})}^{\frac{μ g}{R Λ} - 1}, \end{matrix}

ami akkor monoton növekedő függvény, ha a kitevő negatív, azaz ha

\begin{matrix} Λ > \frac{μ g}{R} = 0, 034 \frac{K}{m} . \end{matrix}

Érdemes észrevenni, hogy kis magasságok esetén a nyomás magasságfüggése mind az 1. pontban vizsgált izoterm légkör esetén, mind pedig a most vizsgált lineáris hőmérséklet-eloszlás esetén

p (z) \approx p_{0} (1 - \frac{μ g z}{R T (0)})

alakú. Tehát a légkör hőmérsékletének magassággal való változása ,,első rendben'', kis magasságok esetén nem befolyásolja a nyomás magasságtól való függését.
2.1. A levegőcsomag állapotváltozása adiabatikus, tehát kielégíti a

\begin{matrix} T_{csomag} \cdot p^{\frac{1 - γ}{γ}} = állandó \end{matrix}

állapotegyenletet, ahol

T_{csomag} (z)

a levegőcsomag hőmérséklete,

p (z)

pedig a környezet és a levegőcsomag közös nyomása. Mindkét mennyiség függ a

z

magasságtól. Differenciáljuk az adiabatikus állapotegyenletet

z

szerint:

\begin{matrix} T_{csomag}' \cdot p^{\frac{1 - γ}{γ}} + T_{csomag} \cdot \frac{1 - γ}{γ} \cdot p^{\frac{1 - γ}{γ}} \cdot \frac{p'}{p} = 0. \end{matrix}

Az előző pontban láttuk, hogy

\frac{p'}{p} = - \frac{μ g}{R T}

, ezt felhasználva kapjuk, hogy:

\begin{matrix} T_{csomag}' = - G, ahol G = \frac{γ - 1}{γ} \frac{μ g}{R} \frac{T_{csomag}}{T} . \end{matrix}

(8)

2.2. Ha

T_{csomag} = T

, akkor

\begin{matrix} Γ = G |_{T_{csomag} = T} = \frac{γ - 1}{γ} \frac{μ g}{R} = \frac{μ g}{c_{p}} = 10^{- 2} \frac{K}{m}, \end{matrix}

és a hőmérséklet a

T (z) = T (0) - Γ z

módon függ a magasságtól. (Ezt a speciális esetet adiabatikus légkörnek hívják.)
2.3. Ha a külső hőmérséklet

T (z) = T (0) - Λ z

függvény szerint változik, akkor az (8) összefüggés szerint a

T_{csomag} (z)

függvény a következő differenciálegyenletet elégíti ki:

\begin{matrix} T_{csomag}' (z) = - \frac{Γ}{T - Λ z} T_{csomag} (z) . \end{matrix}

Az 1.2. pontban már megoldottunk egy hasonló differenciálegyenletet (

p (z)

-re, más konstanssal), így mostani egyenletünk megoldását a megfelelő változók átírásával azonnal megkaphatjuk:

\begin{matrix} T_{csomag} (z) = T_{csomag} (0) {(1 - \frac{Λ z}{T (0)})}^{\frac{Γ}{Λ}} \approx T_{csomag} (0) - Γ z . \end{matrix}

(9)

Az utolsó közelítés

| Λ z | ≪ T (0) \approx T_{csomag} (0)

esetén érvényes, amikor a hatványozás közelítésére használhatjuk az

{(1 + ε)}^{α} \approx 1 + α ε

formulát, amely

ε ≪ 1

esetén érvényes.
Érdemes észrevenni, hogy a kapott hőmérsékletfüggés megegyezik az adiabatikus légkör esetén kapottal. Ezen nem kell meglepődnünk, ha visszaemlékezünk az 1.2. pont végén kapott eredményünkre, mely szerint a külső nyomás (kis magasságok esetén, ,,első rendben'') érzéketlen a hőmérsélket magasságfüggésére, a külső hőmérséklet pedig (feltevéseink szerint) nem befolyásolja a levegőcsomag hőmérsékletét.
3.1. A levegőcsomag és a külső levegő nyomása egyensúlyban van, tehát csak hőmérsékletük eltérése okozhat sűrűségkülönbséget. Ha

z > 0

esetén a külső levegő

\begin{matrix} T (z) = T (0) - Λ z \end{matrix}

hőmérséklete kisebb, mint a levegőcsomag

\begin{matrix} T_{csomag} (z) = T (0) - Γ z \end{matrix}

hőmérséklete, azaz ha

Λ > Γ

, akkor a kissé felemelkedett levegőcsomag ritkább, mint környezete, tehát tovább emelkedik; a légkör instabil.

Λ = Γ

esetén a légkör semleges, míg

Λ < Γ

esetén stabil.
3.2. A levegőcsomag addig a

h

magasságig emelkedik, ahol hőmérséklete megegyezik a külső levegő hőmérsékletével, tehát, felhasználva a (9) egyenletet,

\begin{matrix} T (0) - Λ h = T_{csomag} (0) {(1 - \frac{Λ h}{T (0)})}^{\frac{Γ}{Λ}} . \end{matrix}

Innen a

h

magasságra azt kapjuk, hogy:

\begin{matrix} h = \frac{T (0)}{Λ} (1 - {(\frac{T (0)}{T_{csomag} (0)})}^{\frac{Λ}{Γ - Λ}}) \approx \frac{T_{csomag} (0) - T (0)}{Γ - Λ} . \end{matrix}

(10)

Az utolsó közelítés a

\begin{matrix} T_{csomag} (0) \approx T (0) és \frac{T_{csomag} (0) - T (0)}{T_{csomag} (0)} ≪ 1 \end{matrix}

feltételek mellett érvényes, és a

\begin{matrix} \frac{T (0)}{T_{csomag} (0)} = 1 - \frac{T_{csomag} (0) - T (0)}{T_{csomag} (0)} \end{matrix}

átírás után a hatványozás már megismert közelítésével kapható.
4.1. A táblázatból vett adatokat ábrázolva a következő grafikont kapjuk:

6. ábra. A légkör hőmérséklete a magasság függvényében

Ennek megfelelően a légkör három rétegre osztható, a középső réteg izoterm, míg a másik kettőben közel lineárisan változik a hőmérséklet:

\begin{matrix} 1. réteg & 0 m < z < 96 m & Λ_{1} = \frac{21, 5 K - 20, 1 K}{91 m} = 15, 4 \cdot 10^{- 3} \frac{K}{m} \\ 2. réteg & 96 m < z < 119 m & Λ_{2} = 0 \frac{K}{m}, izoterm szakasz \\ 3. réteg & 119 m < z < 215 m & Λ_{3} = \frac{20, 1 K - 22 K}{215 m - 119 m} = - 0, 02 \frac{K}{m} \end{matrix}

Látható, hogy a (9) egyenlet közelítésénél használt feltételek teljesülnek, így a felemelkedő, és adiabatikusan táguló levegőcsomag hőmérséklete a külső hőmérséklettől lényegében teljesen függetlenül a

Γ = 10^{- 2} \frac{K}{m}

együttható szerint lineárisan csökken. Így

\begin{matrix} T_{csomag} (96 m) & = 22^{\circ} C - 0, 96^{\circ} C \approx 21, 0^{\circ} C és \\ T_{csomag} (119 m) & = 22^{\circ} C - 1, 19^{\circ} C \approx 20, 8^{\circ} C . \end{matrix}

4.2. Látható, hogy 119 m magasan a levegőcsomag hőmérséklete még mindig

0, 7^{\circ}

C-kal magasabb, mint környezetéé. Alkalmazva a (10) egyenlet közelítő formuláját, azt kapjuk, hogy a levegőcsomag még további

\frac{0, 7}{0, 01 + 0, 02} m = 23 m

-t emelkedik, mire környezetével hőmérsékleti egyensúlyba kerül. Tehát a keverési magasság

\begin{matrix} H = 119 m + 23 m = 142 m, \end{matrix}

és itt a hőmérséklet

T_{csomag} (H) \approx 20, 6^{\circ}

C.
5.1. Az

L \times W \times H

méretű téglatestben levő teljes szén-monoxid mennyiség két tényező miatt változik: egyrészt a motorok által kibocsátott mennyiséggel nő, másrészt a szél által kifújt mennyiséggel csökken. Tehát

\begin{matrix} L W H C' (t) = M - u L H C (t) . \end{matrix}

5.2. A fenti lineáris elsőrendű differenciálegyenletnek a

C (0) = 0

kezdőfeltételt kielégítő megoldása:

\begin{matrix} C (t) = \frac{M}{L H u} (1 - e^{- \frac{u}{W} t}) . \end{matrix}

5.3. A fenti egyenletbe behelyettesítve a megadott adatokat, azt kapjuk, hogy a 8 órakor mérhető szén-monoxid koncentráció

C (3600 s) = 2, 3 \frac{mg}{m^{3}}