Feladat: B.4042 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2008/október, 409. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sakk, Sík parkettázás, Konstruktív megoldási módszer, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/december: B.4042

Egy 2007×2008-as sakktáblát egyrétegűen lefedtünk néhány 2×2-es és 1×4-es dominóval. A fölhasznált készlet egy 2×2-es dominóját 1×4-esre cseréljük. Bizonyítsuk be, hogy az új készlettel nem fedhető le a sakktábla.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Színezzük feketére a sakktábla minden második sorának minden második mezőjét, a többi maradjon fehér. A sakktábla bármely lefedésében minden egyes dominó 4 teljes mezőt fed le. Egy 2×2-es dominó pontosan 1 fekete és 3 fehér mezőt fed le, míg egy 1×4-es dominó által lefedett mezők közül 0 vagy 2, tehát mindenképpen páros számú lesz fekete. Esetünkben 2008 osztható 8-cal, ezért a fekete mezők száma 20082007/4, páros, tehát bármely lefedéshez páros számú 2×2-es dominó szükséges. Az új készletben azonban a 2×2-es dominók száma 1-gyel kisebb, mint a sikeres lefedés alkalmával volt, tehát páratlan; így biztosan lesz fedetlen a fekete mezők között.

 

Megjegyzés. A sakktábla méreteinek (és azok oszthatósági tulajdonságainak) a feladat megoldásában semmi szerepe nincsen: ha a fekete mezők száma (a bizonyításban alkalmazott színezés mellett) történetesen páratlan lenne, akkor is ugyanúgy elmondhatjuk, hogy egy dominót a leírt módon kicserélve a lefedett fekete mezők számának paritása megváltozik, tehát nem tudunk ugyanannyit lefedni közülük, mint az eredeti készlettel. Ha viszont a sakktábla összesen 4-gyel nem osztható számú mezőből állna, akkor a feladat értelmét veszti, hiszen 4 ,,mezőnyi'' dominókkal már eredetileg sem fedhető le.