Kezdőlap


Feladat:	C.903	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Englert Ákos , Horváth Anikó , Márki Róbert , Poócza Katalin , Seres Dániel , Vida György
Füzet:	2008/szeptember, 327 - 330. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vektorok vektoriális szorzata, Függvényvizsgálat, Szélsőérték-feladatok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/május: C.903

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A kifejezés értelmezési tartománya: $2 \leq x \leq 3$ .
Alkalmazzuk a számtani és a négyzetes közepek közötti összefüggést:

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{x - 2} + \frac{1}{2} \sqrt[]{3 - x} + \frac{1}{2} \sqrt[]{3 - x} + \frac{1}{2} \sqrt[]{3 - x} + \frac{1}{2} \sqrt[]{3 - x}}{5} & \leq \sqrt[]{\frac{x - 2 + \frac{1}{4} (3 - x) \cdot 4}{5}}, \\ \frac{\sqrt[]{x - 2} + 2 \sqrt[]{3 - x}}{5} & \leq \sqrt[]{\frac{1}{5}}, \end{matrix}

aminek mindkét oldalát 5-tel megszorozva:

\begin{matrix} \sqrt[]{x - 2} + 2 \sqrt[]{3 - x} \leq \sqrt[]{5}; \end{matrix}

egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha

\sqrt[]{x - 2} = \frac{1}{2} \sqrt[]{3 - x}

. Az egyenlet megoldása

x = \frac{11}{5}

, ami eleme az értelmezési tartománynak.
Tehát a kifejezés

x = \frac{11}{5}

-nél veszi fel a maximumát, melynek értéke

\sqrt[]{5}

II. megoldás. Legyen

\begin{matrix} f (x) = \sqrt[]{x - 2} + 2 \sqrt[]{3 - x} = \sqrt[]{x - 2} + \sqrt[]{12 - 4 x} . \end{matrix}

A függvény csak a

2 \leq x \leq 3

tartományon értelmezett.

A szélsőérték meghatározásához deriváljuk a függvényt. Mivel deriválni csak nyílt intervallumon lehet, a kifejezést vizsgáljuk a

2 < x < 3

tartományon, majd a

2

, illetve a

3

helyen.
Szélsőérték ott lehet, ahol a derivált értéke 0. A függvény deriváltja:

\begin{matrix} f' (x) & = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot {(12 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 4) = \\ = \frac{1}{2 \sqrt[]{x - 2}} - \frac{2}{\sqrt[]{12 - 4 x}} = \frac{1}{2 \sqrt[]{x - 2}} - \frac{1}{\sqrt[]{3 - x}} . \end{matrix}

A két törtet közös nevezőre hozva:

\begin{matrix} f' (x) = \frac{\sqrt[]{3 - x} - 2 \sqrt[]{x - 2}}{2 \sqrt[]{x - 2} \cdot \sqrt[]{3 - x}} . \end{matrix}

Mivel nyílt intervallumban vagyunk, a nevező nem lehet nulla. A számláló pedig akkor 0, ha

\sqrt[]{3 - x} = 2 \sqrt[]{x - 2}

, vagyis

3 - x = 4 x - 8

, és így

x = 2, 2

. Ekkor

f (2, 2) = \sqrt[]{2, 2 - 2} + 2 \sqrt[]{3 - 2, 2} = \sqrt[]{0, 2} + 2 \sqrt[]{0, 8} = \sqrt[]{5}

.
Vizsgáljuk meg a derivált előjelét a

(2; 3)

intervallumban, illetve

f

értékét a 2 és a 3 helyen.

\begin{matrix} \begin{matrix} x & 2 < x < 2, 2 & x = 2, 2 & 2, 2 < x < 3 \\ f' & > 0 & 0 & < 0 \\ f & ↗ & \sqrt[]{5} & ↘ \end{matrix} \end{matrix}

A függvénynek tehát a

(2; 3)

intervallumon az

x = 2, 2

helyen maximuma van.
A kifejezés értékét vizsgálnunk kell még az

x = 2

és az

x = 3

helyeken, ahol

2

, illetve

1

az értéke. Mivel mind a kettő kisebb, mint

\sqrt[]{5}

, az

f

függvény maximumhelye az

x = 2, 2

, és a maximum értéke

\sqrt[]{5}

Megjegyzés. Sokan megfeledkeztek arról, hogy a

[2; 3]

intervallum végpontjaiban felvett

f

értékeket is meg kell vizsgálni.

III. megoldás.

\sqrt[]{x - 2} + 2 \sqrt[]{3 - x}

értelmezési tartománya

[2; 3]

. Vegyük észre, hogy

\begin{matrix} {(\sqrt[]{x - 2})}^{2} + {(\sqrt[]{3 - x})}^{2} = x - 2 + 3 - x = 1, \end{matrix}

ami azt jelenti, hogy van olyan

β

hegyesszög, amelyre

\sqrt[]{x - 2} = sin β

és

\sqrt[]{3 - x} = cos β

, tehát

\begin{matrix} \sqrt[]{x - 2} + 2 \sqrt[]{3 - x} = sin β + 2 cos β = \sqrt[]{5} (\frac{1}{\sqrt[]{5}} sin β + \frac{2}{\sqrt[]{5}} cos β) . \end{matrix}

{(\frac{1}{\sqrt[]{5}})}^{2} + {(\frac{2}{\sqrt[]{5}})}^{2} = 1

összefüggés miatt van olyan

α

hegyesszög, amelyre

\frac{1}{\sqrt[]{5}} = cos α

és

\frac{2}{\sqrt[]{5}} = sin α

. Ezt felhasználva a kifejezés a következőképpen írható:

\begin{matrix} \sqrt[]{5} (cos α sin β + sin α cos β) = \sqrt[]{5} sin (α + β) . \end{matrix}

A szinusz függvény hegyesszögek esetén akkor veszi fel a legnagyobb értékét, vagyis 1-et, ha

α + β = 90^{\circ}

, azaz

β = 90^{\circ} - α

. Ekkor

\begin{matrix} \sqrt[]{x - 2} = sin β = sin (90^{\circ} - α) = cos α = \frac{1}{\sqrt[]{5}} . \end{matrix}

Innen kiszámolható

x

értéke:

\sqrt[]{x - 2} = \frac{1}{\sqrt[]{5}}

, tehát

x - 2 = \frac{1}{5}

, és így

x = 2 + \frac{1}{5}

.
A kifejezés legnagyobb értéke:

\begin{matrix} \sqrt[]{2 + \frac{1}{5} - 2} + 2 \sqrt[]{3 - 2 - \frac{1}{5}} = \sqrt[]{\frac{1}{5}} + 2 \sqrt[]{\frac{4}{5}} = \frac{1}{\sqrt[]{5}} + \frac{4}{\sqrt[]{5}} = \frac{5}{\sqrt[]{5}} = \sqrt[]{5} . \end{matrix}

IV. megoldás. Vezessük be a következő vektorokat:

\begin{matrix} a = (1; 2), b = (\sqrt[]{x - 2}; \sqrt[]{3 - x}) . \end{matrix}

A két vektor által bezárt szöget

γ

-val jelölve írjuk fel kétféleképpen a skaláris szorzatukat:

\begin{matrix} a \cdot b = | a | \cdot | b | \cdot cos γ = 1 \cdot \sqrt[]{x - 2} + 2 \cdot \sqrt[]{3 - x} . \end{matrix}

Mivel

cos γ \leq 1

, azért

| a | \cdot | b | \geq 1 \cdot \sqrt[]{x - 2} + 2 \cdot \sqrt[]{3 - x}

. Mivel

| a | = \sqrt[]{1 + 4} = \sqrt[]{5}

| b | = \sqrt[]{x - 2 + 3 - x} = 1

, azért azt kaptuk, hogy

\begin{matrix} \sqrt[]{5} \cdot 1 \geq \sqrt[]{x - 2} + 2 \cdot \sqrt[]{3 - x} . \end{matrix}

Tehát a kifejezés legnagyobb értéke

\sqrt[]{5}

.
Számoljuk ki, hogy ezt milyen

x

esetén veszi föl.

\begin{matrix} \sqrt[]{x - 2} + 2 \cdot \sqrt[]{3 - x} = \sqrt[]{5}, \end{matrix}

amit négyzetre emelve és rendezve:

\begin{matrix} 3 x - 5 = 4 \cdot \sqrt[]{x - 2} \cdot \sqrt[]{3 - x} . \end{matrix}

Ezt ismét négyzetre emelve és rendezve:

\begin{matrix} 0 = 25 x^{2} - 110 x + 121 = {(5 x - 11)}^{2} . \end{matrix}

Tehát a kifejezés

x = \frac{11}{5}

esetén veszi fel a legnagyobb értékét.

V. megoldás. A

\sqrt[]{x - 2} + 2 \sqrt[]{3 - x}

kifejezés értelmezési tartománya

2 \leq x \leq 3

. Excel-ben kirajzolva megsejthető, hogy a függvény az

x = 2, 2

helyen veszi fel a maximumát. (2-től 3-ig 0,001 lépésközzel ezer értékre számoltuk ki a kifejezést, majd az adatokból megrajzolt ábrán megsejthető

x = 2, 2

környékén a táblázatban is megnéztük a kapott számokat.)
Be kell még látnunk, hogy

\sqrt[]{x - 2} + 2 \sqrt[]{3 - x} \leq \sqrt[]{0, 2} + 2 \sqrt[]{0, 8}

. Mindkét oldal nemnegatív, ezért négyzetre emelhetünk:

\begin{matrix} x - 2 + 12 - 4 x + 4 \sqrt[]{x - 2} \cdot \sqrt[]{3 - x} & \leq 0, 2 + 3,2 + 4 \sqrt[]{0, 2} \cdot \sqrt[]{0, 8}, \\ 4 \sqrt[]{x - 2} \cdot \sqrt[]{3 - x} & \leq - 5 + 3 x . \end{matrix}

A bal oldal pozitív és

x \geq 2

esetén a jobb oldal is az, ezért ismét négyzetre emelhetünk:

\begin{matrix} 16 \cdot (3 x + 2 x - x^{2} - 6) \leq 9 x^{2} - 30 x + 25, \\ 0 \leq 25 x^{2} - 110 x + 121 = {(5 x - 11)}^{2} . \end{matrix}

Ez pedig mindig teljesül, és a lépéseket visszafele is elvégezhetjük (a közben tett megjegyzések miatt).
Tehát beláttuk, hogy a kifejezés valóban

x = 2, 2

-nél veszi fel a legnagyobb értékét, ami

\sqrt[]{0, 2} + 2 \sqrt[]{0, 8} \approx 2, 236