Feladat: C.903 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Englert Ákos ,  Horváth Anikó ,  Márki Róbert ,  Poócza Katalin ,  Seres Dániel ,  Vida György 
Füzet: 2008/szeptember, 327 - 330. oldal  PDF file
Témakör(ök): Vektorok vektoriális szorzata, Függvényvizsgálat, Szélsőérték-feladatok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/május: C.903

Határozzuk meg a
x-2+23-x
kifejezés legnagyobb értékét.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A kifejezés értelmezési tartománya: 2x3.
Alkalmazzuk a számtani és a négyzetes közepek közötti összefüggést:

x-2+123-x+123-x+123-x+123-x5x-2+14(3-x)45,x-2+23-x515,
aminek mindkét oldalát 5-tel megszorozva:
x-2+23-x5;
egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x-2=123-x. Az egyenlet megoldása x=115, ami eleme az értelmezési tartománynak.
Tehát a kifejezés x=115-nél veszi fel a maximumát, melynek értéke 5.
 
II. megoldás. Legyen
f(x)=x-2+23-x=x-2+12-4x.
A függvény csak a 2x3 tartományon értelmezett.
 
 

A szélsőérték meghatározásához deriváljuk a függvényt. Mivel deriválni csak nyílt intervallumon lehet, a kifejezést vizsgáljuk a 2<x<3 tartományon, majd a 2, illetve a 3 helyen.
Szélsőérték ott lehet, ahol a derivált értéke 0. A függvény deriváltja:
f'(x)=12(x-2)-12+12(12-4x)-12(-4)==12x-2-212-4x=12x-2-13-x.

A két törtet közös nevezőre hozva:
f'(x)=3-x-2x-22x-23-x.

Mivel nyílt intervallumban vagyunk, a nevező nem lehet nulla. A számláló pedig akkor 0, ha 3-x=2x-2, vagyis 3-x=4x-8, és így x=2,2. Ekkor f(2,2)=2,2-2+23-2,2=0,2+20,8=5.
Vizsgáljuk meg a derivált előjelét a (2;3) intervallumban, illetve f értékét a 2 és a 3 helyen.
x2<x<2,2x=2,22,2<x<3f'>00<0f5
A függvénynek tehát a (2;3) intervallumon az x=2,2 helyen maximuma van.
A kifejezés értékét vizsgálnunk kell még az x=2 és az x=3 helyeken, ahol 2, illetve 1 az értéke. Mivel mind a kettő kisebb, mint 5, az f függvény maximumhelye az x=2,2, és a maximum értéke 5.
 
Megjegyzés. Sokan megfeledkeztek arról, hogy a [2;3] intervallum végpontjaiban felvett f értékeket is meg kell vizsgálni.
 
III. megoldás. x-2+23-x értelmezési tartománya [2;3]. Vegyük észre, hogy
(x-2)2+(3-x)2=x-2+3-x=1,
ami azt jelenti, hogy van olyan β hegyesszög, amelyre x-2=sinβ és 3-x=cosβ, tehát
x-2+23-x=sinβ+2cosβ=5(15sinβ+25cosβ).
Az (15)2+(25)2=1 összefüggés miatt van olyan α hegyesszög, amelyre 15=cosα és 25=sinα. Ezt felhasználva a kifejezés a következőképpen írható:
5(cosαsinβ+sinαcosβ)=5sin(α+β).
A szinusz függvény hegyesszögek esetén akkor veszi fel a legnagyobb értékét, vagyis 1-et, ha α+β=90, azaz β=90-α. Ekkor
x-2=sinβ=sin(90-α)=cosα=15.
Innen kiszámolható x értéke: x-2=15, tehát x-2=15, és így x=2+15.
A kifejezés legnagyobb értéke:
2+15-2+23-2-15=15+245=15+45=55=5.

 
IV. megoldás. Vezessük be a következő vektorokat:
a=(1;2),b=(x-2;3-x).
A két vektor által bezárt szöget γ-val jelölve írjuk fel kétféleképpen a skaláris szorzatukat:
ab=|a||b|cosγ=1x-2+23-x.
Mivel cosγ1, azért |a||b|1x-2+23-x. Mivel |a|=1+4=5, |b|=x-2+3-x=1, azért azt kaptuk, hogy
51x-2+23-x.
Tehát a kifejezés legnagyobb értéke 5.
Számoljuk ki, hogy ezt milyen x esetén veszi föl.
x-2+23-x=5,
amit négyzetre emelve és rendezve:
3x-5=4x-23-x.
Ezt ismét négyzetre emelve és rendezve:
0=25x2-110x+121=(5x-11)2.
Tehát a kifejezés x=115 esetén veszi fel a legnagyobb értékét.
 
V. megoldás. A x-2+23-x kifejezés értelmezési tartománya 2x3. Excel-ben kirajzolva megsejthető, hogy a függvény az x=2,2 helyen veszi fel a maximumát. (2-től 3-ig 0,001 lépésközzel ezer értékre számoltuk ki a kifejezést, majd az adatokból megrajzolt ábrán megsejthető x=2,2 környékén a táblázatban is megnéztük a kapott számokat.)
Be kell még látnunk, hogy x-2+23-x0,2+20,8. Mindkét oldal nemnegatív, ezért négyzetre emelhetünk:
x-2+12-4x+4x-23-x0,2+3,2+40,20,8,4x-23-x-5+3x.
A bal oldal pozitív és x2 esetén a jobb oldal is az, ezért ismét négyzetre emelhetünk:
16(3x+2x-x2-6)9x2-30x+25,025x2-110x+121=(5x-11)2.


Ez pedig mindig teljesül, és a lépéseket visszafele is elvégezhetjük (a közben tett megjegyzések miatt).
Tehát beláttuk, hogy a kifejezés valóban x=2,2-nél veszi fel a legnagyobb értékét, ami 0,2+20,82,236.