|
Feladat: |
3881. fizika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Dudás János , Kajtár Gergely , Konczer József , Kónya Gábor , Pásztor Attila , Pósa László , Széchenyi Gábor , Szolnoki Lénárd , Takátsy Balázs , Werner Miklós |
Füzet: |
2007/január,
49 - 51. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Gördülés (Merev testek síkmozgása), Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2006/március: 3881. fizika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Ha a korong (kezdetben függőleges) tengelye kicsiny szöggel elfordul, akkor a korong középpontja az eredeti helyzetéhez képest egy kicsit megemelkedik, a korong és a lejtők érintkezési pontjai pedig mélyebbre kerülnek. Ezt a helyzetet mutatja az 1. ábra, melynek bal oldala a lejtőkkel párhuzamos irányú nézetet, a jobb oldala pedig az erre merőleges vízszintes irányú (vagyis a pillanatnyi forgástengely irányából látható) nézetet ábrázolja.
1. ábra A korongra az gravitációs erőn kívül az pontokban összesen nagyságú, függőlegesen felfelé irányuló kényszererő hat. (A korong tömegközéppontjának vízszintes irányú elmozdulása kis szögelfordulások esetén elhanyagolhatóan kicsi.) A korong függőleges irányú elmozdulása (és így a rezgőmozgás során a függőleges irányú sebessége és gyorsulása is) -nal arányosan kicsi, jó közelítéssel igaz tehát, hogy . A korong rezgéseinek periódusidejét a forgómozgás alapegyenletéből határozhatjuk meg. Az erő forgatónyomatéka a tömegközépponton átmenő (-vel párhuzamos) tengelyre ahol a korong középpontjának és az érintkezési pontoknak a magasságkülönbsége (lásd az 1. ábrát). Ha az forgatónyomaték a szögkitéréssel egyenesen arányos, vagyis alakba írható, akkor az szög periodikusan, az időnek szinuszos függvényeként fog változni. A billegés periódusideje az mozgásegyenlet és a harmonikus rezgőmozgás egyenletének alaki hasonlóságából ahol a korong tehetetlenségi nyomatéka az egyik átmérőjére vonatkoztatva (lásd a Függvénytáblázatot, vagy ,,A tehetetlenségi nyomatékról'' című cikket lapunk 38. oldalán). Hátra van még a magasságkülönbség meghatározása; ez tulajdonképpen egy geometriai feladat. A korong oldalnézeti (a lejtők érintkező alsó széleinek irányából látható) képe egy olyan ellipszis, amelynek fél nagytengelye , fél kistengelye pedig hosszúságú. Ha ezt az ellipszist a kistengelye mentén arányban megnyújtjuk, akkor egy sugarú kört kapunk. Ugyanilyen arányban megnyújtva a lejtőket ábrázoló egyeneseket is, a transzformáció (ún. affin transzformáció) az ellipszist érintő egyeneseket a kört érintő egyenesekbe viszi át (2. ábra). Az affinitás során az -ra merőleges méretek változatlanok maradnak, az -val párhuzamos méretek pedig ugyanolyan, nevezetesen arányban nyúlnak.
2. ábra Másrészt a és az háromszögek hasonlóságából | | illetve a összefüggésekből kapjuk: | | (Kihasználtuk, hogy kicsi, emiatt .) Ezt (1)-be helyettesítve leolvashatjuk, hogy a visszatérítő nyomaték valóban (2) alakú és , a periódusidő tehát (3) és (4) felhasználásával |
|