Kezdőlap


Feladat:	3881. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Dudás János , Kajtár Gergely , Konczer József , Kónya Gábor , Pásztor Attila , Pósa László , Széchenyi Gábor , Szolnoki Lénárd , Takátsy Balázs , Werner Miklós
Füzet:	2007/január, 49 - 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés (Merev testek síkmozgása), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/március: 3881. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a korong (kezdetben függőleges) tengelye kicsiny $ε$ szöggel elfordul, akkor a korong $K$ középpontja az eredeti helyzetéhez képest egy kicsit megemelkedik, a korong és a lejtők $E$ érintkezési pontjai pedig mélyebbre kerülnek. Ezt a helyzetet mutatja az 1. ábra, melynek bal oldala a lejtőkkel párhuzamos irányú nézetet, a jobb oldala pedig az erre merőleges vízszintes irányú (vagyis a pillanatnyi forgástengely irányából látható) nézetet ábrázolja.

1. ábra

A korongra az

m g

gravitációs erőn kívül az

E

pontokban összesen

F

nagyságú, függőlegesen felfelé irányuló kényszererő hat. (A korong tömegközéppontjának vízszintes irányú elmozdulása kis szögelfordulások esetén elhanyagolhatóan kicsi.) A korong függőleges irányú elmozdulása (és így a rezgőmozgás során a függőleges irányú sebessége és gyorsulása is)

ε

-nal arányosan kicsi, jó közelítéssel igaz tehát, hogy

F \approx m g

.
A korong rezgéseinek periódusidejét a forgómozgás alapegyenletéből határozhatjuk meg. Az

F

erő forgatónyomatéka a tömegközépponton átmenő (

E E

-vel párhuzamos) tengelyre

\begin{matrix} M = - F s \approx - m g s = - m g \frac{h}{tg ε}, \end{matrix}

(1)

ahol

h

a korong

K

középpontjának és az

E

érintkezési pontoknak a magasságkülönbsége (lásd az 1. ábrát). Ha az

M

forgatónyomaték a szögkitéréssel egyenesen arányos, vagyis

\begin{matrix} M = - D^{⋆} ε \end{matrix}

(2)

alakba írható, akkor az

ε

szög periodikusan, az időnek szinuszos függvényeként fog változni. A billegés periódusideje az

M = Θ β

mozgásegyenlet és a harmonikus rezgőmozgás

F = m a

egyenletének alaki hasonlóságából

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{Θ}{D^{⋆}}}, \end{matrix}

(3)

ahol

\begin{matrix} Θ = \frac{1}{4} m r^{2} \end{matrix}

(4)

a korong tehetetlenségi nyomatéka az egyik átmérőjére vonatkoztatva (lásd a Függvénytáblázatot, vagy ,,A tehetetlenségi nyomatékról'' című cikket lapunk 38. oldalán).
Hátra van még a

h

magasságkülönbség meghatározása; ez tulajdonképpen egy geometriai feladat. A korong oldalnézeti (a lejtők érintkező alsó széleinek irányából látható) képe egy olyan ellipszis, amelynek fél nagytengelye

r

, fél kistengelye pedig

r sin ε

hosszúságú. Ha ezt az ellipszist a kistengelye mentén

\frac{1}{sin ε}

arányban megnyújtjuk, akkor egy

r

sugarú kört kapunk. Ugyanilyen arányban megnyújtva a lejtőket ábrázoló

O E

egyeneseket is, a transzformáció (ún. affin transzformáció) az ellipszist érintő egyeneseket a kört érintő egyenesekbe viszi át (2. ábra). Az affinitás során az

O K

-ra merőleges méretek változatlanok maradnak, az

O K

-val párhuzamos méretek pedig ugyanolyan, nevezetesen

\begin{matrix} \frac{d'}{d} = \frac{h'}{h} = \frac{tg α'}{tg α} = \frac{1}{sin ε} \end{matrix}

arányban nyúlnak.

2. ábra

Másrészt a

K' P' E'

és az

O E' P'

háromszögek hasonlóságából

\begin{matrix} h' = r cos α' = \frac{r}{\sqrt[]{1 + {tg}^{2} α'}} = \frac{r}{\sqrt[]{1 + \frac{{tg}^{2} α}{sin^{2} ε}}} = \frac{r sin ε}{\sqrt[]{{tg}^{2} α + sin^{2} ε}}, \end{matrix}

illetve a

\begin{matrix} h = h' sin ε és s = \frac{h}{tg ε} \end{matrix}

összefüggésekből kapjuk:

\begin{matrix} s = r \frac{sin ε cos ε}{\sqrt[]{{tg}^{2} α + sin^{2} ε}} \approx \frac{r}{tg α} ε . \end{matrix}

(Kihasználtuk, hogy

ε

kicsi, emiatt

sin ε \approx tg ε \approx ε

.) Ezt (1)-be helyettesítve leolvashatjuk, hogy a visszatérítő nyomaték valóban (2) alakú és

D^{⋆} = \frac{m g r}{tg α}

, a periódusidő tehát (3) és (4) felhasználásával

\begin{matrix} T = π \sqrt[]{\frac{r}{g} tg α} . \end{matrix}