Feladat: 3881. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Dudás János ,  Kajtár Gergely ,  Konczer József ,  Kónya Gábor ,  Pásztor Attila ,  Pósa László ,  Széchenyi Gábor ,  Szolnoki Lénárd ,  Takátsy Balázs ,  Werner Miklós 
Füzet: 2007/január, 49 - 51. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gördülés (Merev testek síkmozgása), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/március: 3881. fizika feladat

Két egyforma, α hajlásszögű lejtőt összetolunk úgy, hogy az alsó széleik összeérjenek. A lejtőkre egy vékony, r sugarú, homogén tömegeloszlású korongot teszünk vízszintes helyzetben. A korongot egyensúlyi helyzetéből kicsit kimozdítva csúszásmentes rezgésbe hozzuk. Mekkora a rezgésidő?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a korong (kezdetben függőleges) tengelye kicsiny ε szöggel elfordul, akkor a korong K középpontja az eredeti helyzetéhez képest egy kicsit megemelkedik, a korong és a lejtők E érintkezési pontjai pedig mélyebbre kerülnek. Ezt a helyzetet mutatja az 1. ábra, melynek bal oldala a lejtőkkel párhuzamos irányú nézetet, a jobb oldala pedig az erre merőleges vízszintes irányú (vagyis a pillanatnyi forgástengely irányából látható) nézetet ábrázolja.

 

 
1. ábra
 

A korongra az mg gravitációs erőn kívül az E pontokban összesen F nagyságú, függőlegesen felfelé irányuló kényszererő hat. (A korong tömegközéppontjának vízszintes irányú elmozdulása kis szögelfordulások esetén elhanyagolhatóan kicsi.) A korong függőleges irányú elmozdulása (és így a rezgőmozgás során a függőleges irányú sebessége és gyorsulása is) ε-nal arányosan kicsi, jó közelítéssel igaz tehát, hogy Fmg.
A korong rezgéseinek periódusidejét a forgómozgás alapegyenletéből határozhatjuk meg. Az F erő forgatónyomatéka a tömegközépponton átmenő (EE-vel párhuzamos) tengelyre
M=-Fs-mgs=-mghtgε,(1)
ahol h a korong K középpontjának és az E érintkezési pontoknak a magasságkülönbsége (lásd az 1. ábrát). Ha az M forgatónyomaték a szögkitéréssel egyenesen arányos, vagyis
M=-Dε(2)
alakba írható, akkor az ε szög periodikusan, az időnek szinuszos függvényeként fog változni. A billegés periódusideje az M=Θβ mozgásegyenlet és a harmonikus rezgőmozgás F=ma egyenletének alaki hasonlóságából
T=2πΘD,(3)
ahol
Θ=14mr2(4)
a korong tehetetlenségi nyomatéka az egyik átmérőjére vonatkoztatva (lásd a Függvénytáblázatot, vagy ,,A tehetetlenségi nyomatékról'' című cikket lapunk 38. oldalán).
Hátra van még a h magasságkülönbség meghatározása; ez tulajdonképpen egy geometriai feladat. A korong oldalnézeti (a lejtők érintkező alsó széleinek irányából látható) képe egy olyan ellipszis, amelynek fél nagytengelye r, fél kistengelye pedig rsinε hosszúságú. Ha ezt az ellipszist a kistengelye mentén 1sinε arányban megnyújtjuk, akkor egy r sugarú kört kapunk. Ugyanilyen arányban megnyújtva a lejtőket ábrázoló OE egyeneseket is, a transzformáció (ún. affin transzformáció) az ellipszist érintő egyeneseket a kört érintő egyenesekbe viszi át (2. ábra). Az affinitás során az OK-ra merőleges méretek változatlanok maradnak, az OK-val párhuzamos méretek pedig ugyanolyan, nevezetesen
d'd=h'h=tgα'tgα=1sinε
arányban nyúlnak.
 

 
2. ábra
 

Másrészt a K'P'E' és az OE'P' háromszögek hasonlóságából
h'=rcosα'=r1+tg2α'=r1+tg2αsin2ε=rsinεtg2α+sin2ε,
illetve a
h=h'sinεéss=htgε
összefüggésekből kapjuk:
s=rsinεcosεtg2α+sin2εrtgαε.
(Kihasználtuk, hogy ε kicsi, emiatt sinεtgεε.) Ezt (1)-be helyettesítve leolvashatjuk, hogy a visszatérítő nyomaték valóban (2) alakú és D=mgrtgα, a periódusidő tehát (3) és (4) felhasználásával
T=πrgtgα.