Feladat: 3859. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Farkas Patrik ,  Horváth Andrea 
Füzet: 2007/január, 45. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/január: 3859. fizika feladat

Egy L hosszúságú, α hajlásszögű lejtő felső felén μ1, alsó felén μ2 a csúszási súrlódási tényező. A lejtő tetején elengedünk egy l<L/2 hosszúságú, a lejtőre egyenletesen felfekvő lemezt. Mi a feltétele annak, hogy a lemez pontosan akkor álljon meg, amikor az eleje eléri a lejtő alját?
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az m tömegű lemez csak akkor indulhat meg a lejtőn, ha a felső részen a súrlódási erő kisebb, mint a gravitációs erő lejtő irányú komponense, és csak akkor állhat meg, ha a lejtő alsó részén éppen fordított a helyzet:

μ1mgcosα<mgsinα<μ2mgcosα,vagyisμ1<tgα<μ2.

Ha a lemez éppen a lejtő alján áll meg, akkor L-l hosszúságú elmozdulása során a helyzeti energiája ΔE=mg(L-l)sinα értékkel csökken, a mozgási energiája pedig nem változik. Ez csak úgy lehet, hogy a súrlódási erő W munkája éppen megegyezik ΔE-vel.
W kiszámításához határozzuk meg az Fs súrlódási erőt a lemez x elmozdulásának függvényében! Amíg a lemez teljes terjedelmében a lejtő felső felén fekszik (x<L/2-l), a súrlódási erő μ1mgcosα, az alsó (x>L/2) részen pedig μ2mgcosα. A középső tartományban (amikor a lemez átcsúszik az érdesebb tartományból a csúszósabbra) a súrlódási erő fokozatosan, az elmozdulással arányosan vált át a kisebb értékről a nagyobbra.
 
 

A súrlódási erő munkája az Fs(x) függvény ábrán látható grafikonja alatti területtel egyezik meg, vagyis
W=μ1mgcosα(L2-l)+μ1mgcosα+μ2mgcosα2l+μ2mgcosα(L2-l)==μ1+μ22mg(L-l)cosα.
A megállás feltételére a fentiek felhasználásával végül
tgα=μ1+μ22
adódik.