Kezdőlap


Feladat:	B.3870	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kormis Bence
Füzet:	2007/január, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Ellipszis, mint kúpszelet, Trigonometrikus függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/december: B.3870

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a $P F_{1} F_{2}$ háromszög három oldala $a, b$ és $c$ , kerülete $a + b + c = 2 s$ , szögei pedig $α$ , $β$ és $γ$ (lásd az ábrát). Ismert (lásd pl. Kiss Gy.: Amit jó tudni a háromszögekről, KöMaL 2002/3, 130‐139. old.), hogy

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{s (s - a)}} és tg \frac{β}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - c)}{s (s - b)}}, \end{matrix}

így

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} \cdot tg \frac{β}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{s (s - a)}} \cdot \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - c)}{s (s - b)}} = \frac{s - c}{s} . \end{matrix}

Az ellipszis definíciója szerint

P F_{1} + P F_{2} = a + b

állandó, és mivel

F_{1} F_{2} = c

rögzített, azért

\begin{matrix} \frac{s - c}{s} = \frac{a + b - c}{a + b + c} \end{matrix}

is állandó.
A feladatban szereplő

\begin{matrix} tg \frac{P F_{1} F_{2} ∢}{2} \cdot tg \frac{P F_{2} F_{1} ∢}{2} \end{matrix}

kifejezés értéke valóban nem függ

P

-től.

II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit, legyen továbbá

2 x = P F_{1} F_{2} ∢ = α

2 y = P F_{2} F_{1} ∢ = β

és

2 z = F_{2} P F_{1} ∢ = γ

, ekkor

x + y = 90^{\circ} - z

. Ha a szóban forgó mennyiséget

u

-val jelöljük, akkor, mivel

u \neq 0

\begin{matrix} \frac{1}{u} - 1 = ctg x \cdot ctg y - 1 = \frac{cos x cos y}{sin x sin y} - 1 = \frac{cos (x + y)}{sin x sin y} > 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{u}{1 - u} = \frac{sin x sin y}{sin z} . \end{matrix}

Mivel

a + b

és

c

csak az adott ellipszistől függ,

\frac{a + b}{c}

állandó. A szinusztétel szerint tehát

\begin{matrix} t = \frac{a + b}{c} = \frac{sin α + sin β}{sin γ} = \frac{2 sin (x + y) cos (x - y)}{2 sin z cos z} = \frac{cos x cos y + sin x sin y}{sin z} \end{matrix}

értéke is független

P

-től. Mivel

sin z = cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y

, kapjuk, hogy

\begin{matrix} 0 < t = 1 + 2 \frac{sin x sin y}{sin z} = 1 + 2 \frac{u}{1 - u} = \frac{1 + u}{1 - u} . \end{matrix}

Ebből pedig következik, hogy

u = \frac{t - 1}{t + 1}

értéke valóban csak az ellipszistől függ, a

P

helyzetétől nem.