Kezdőlap


Feladat:	B.3824	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bitai Tamás , Bodzsár Erik , Bogár Péter , Csaba Ákos , Csató László , Dányi Zsolt , Darázs Zoltán , Gombkötő Tamás , Hujter Bálint , Károlyi Gergely , Károlyi Márton , Kecskeméti Szabolcs , Kiss-Tóth Christian , Kómár Péter , Komáromy Dani , Kovács 129 Péter , Kunovszki Péter , Lorántfy Bettina , Mátyás Péter , Mészáros Gábor , Nagy János , Nagy Péter , Nagy-Baló András , Pesti Veronika , Sümegi Károly , Szirmai Péter , Tomon István , Tossenberger Anna , Tóthmérész Lilla
Füzet:	2007/január, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Középpontos tükrözés, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/május: B.3824

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a tetraéder csúcspontjait $A$ , $B$ , $C$ , $D$ -vel; a feladatban szereplő tükörképüket pedig rendre $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ -vel.
A tetraéder $A$ csúcsából kiinduló súlyvonalának hossza legyen $4 a$ , talppontja $S_{a}$ , a $B$ csúcsból induló súlyvonal hossza $4 b$ , talppontja $S_{b}$ stb.

A tetraéder egy-egy súlyvonala egy csúcsot köt össze a szemközti lap súlypontjával, ezért az

A A'

és a

B B'

szakaszok a tetraéder súlyvonalainak egyenesére esnek. A tükrözés tulajdonságai miatt:

A S_{a} = S_{a} A' = 4 a

és

B S_{b} = S_{b} B' = 4 b

.
Ismeretes, hogy a tetraéder súlyvonalai egy pontban metszik egymást (ez a tetraéder

S

súlypontja), és ez a pont a csúcstól távolabbi negyedelőpontja a súlyvonalaknak; ezért

A S = 3 a

B S = 3 b

és

S A' = 5 a

S B' = 5 b

.
Így az

A S B

és az

A' S B'

háromszögek hasonlóak, mivel

A S B ∢ = A' S B' ∢

(csúcsszögek) és két-két oldaluk aránya egyenlő:

\frac{A S}{A' S} = \frac{B S}{B' S} = \frac{3}{5}

. A párhuzamos szelők tételének megfordítása szerint

A B ∥ A' B'

és ezen szakaszok aránya is egyenlő a két háromszög hasonlóságának arányával,

\frac{3}{5}

-del.
Ugyanígy belátható, hogy az

A' B' C' D'

tetraéder többi éle is párhuzamos az

A B C D

tetraéder megfelelő éleivel, és hosszuk az eredeti tetraéder élhosszainak

\frac{5}{3}

-szorosa. Tehát az

A' B' C' D'

tetraéder az

A B C D

tetraédernek

\frac{5}{3}

arányú,

S

középpontú nagyított képe, a két tetraéder hasonló.
Térfogatuk aránya a hasonlóság arányának köbe:

\begin{matrix} \frac{V_{A' B' C' D'}}{V_{A B C D}} = {(\frac{5}{3})}^{3} = \frac{125}{27} > 4. \end{matrix}

Így a tükörképek által meghatározott tetraéder térfogata valóban több, mint négyszerese az eredeti tetraéder térfogatának.