|
Feladat: |
B.3824 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bitai Tamás , Bodzsár Erik , Bogár Péter , Csaba Ákos , Csató László , Dányi Zsolt , Darázs Zoltán , Gombkötő Tamás , Hujter Bálint , Károlyi Gergely , Károlyi Márton , Kecskeméti Szabolcs , Kiss-Tóth Christian , Kómár Péter , Komáromy Dani , Kovács 129 Péter , Kunovszki Péter , Lorántfy Bettina , Mátyás Péter , Mészáros Gábor , Nagy János , Nagy Péter , Nagy-Baló András , Pesti Veronika , Sümegi Károly , Szirmai Péter , Tomon István , Tossenberger Anna , Tóthmérész Lilla |
Füzet: |
2007/január,
17 - 18. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Középpontos tükrözés, Térfogat, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2005/május: B.3824 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Jelöljük a tetraéder csúcspontjait , , , -vel; a feladatban szereplő tükörképüket pedig rendre , , , -vel. A tetraéder csúcsából kiinduló súlyvonalának hossza legyen , talppontja , a csúcsból induló súlyvonal hossza , talppontja stb.
A tetraéder egy-egy súlyvonala egy csúcsot köt össze a szemközti lap súlypontjával, ezért az és a szakaszok a tetraéder súlyvonalainak egyenesére esnek. A tükrözés tulajdonságai miatt: és . Ismeretes, hogy a tetraéder súlyvonalai egy pontban metszik egymást (ez a tetraéder súlypontja), és ez a pont a csúcstól távolabbi negyedelőpontja a súlyvonalaknak; ezért , és , . Így az és az háromszögek hasonlóak, mivel (csúcsszögek) és két-két oldaluk aránya egyenlő: . A párhuzamos szelők tételének megfordítása szerint és ezen szakaszok aránya is egyenlő a két háromszög hasonlóságának arányával, -del. Ugyanígy belátható, hogy az tetraéder többi éle is párhuzamos az tetraéder megfelelő éleivel, és hosszuk az eredeti tetraéder élhosszainak -szorosa. Tehát az tetraéder az tetraédernek arányú, középpontú nagyított képe, a két tetraéder hasonló. Térfogatuk aránya a hasonlóság arányának köbe: | | Így a tükörképek által meghatározott tetraéder térfogata valóban több, mint négyszerese az eredeti tetraéder térfogatának. |
|